Tukukkk

O matemático alemão David Hilbert em foto de 1886.

Em matemática, a transformada de Hilbert é uma transformada integral que mapeia uma função f(x) em uma outra, û(x) (portanto, no mesmo domínio^{[nota 1][nota 2]}).^[1][2]

Ela recebeu esse nome em homenagem ao matemático alemão David Hilbert, que, em 1905, estudou uma transformação similar com vistas a estudar o Problema de Riemann-Hilbert sobre o círculo. Não foi, portanto, o próprio Hilbert que definiu essa transformada, e sim o matemático britânico Godfrey Harold Hardy, em 1925 (ver abaixo. Pesquisas posteriores fixaram a forma da transformação como hoje é usada, mostraram sua utilidade em campos diferentes de aplicação, como a análise harmónica,^[2] o processamento digital de sinais,^[3] a óptica,^[1] a sismologia,^[1] a física quântica,^[3] a fisiologia^[4] e a acústica,^[4] e introduziram variações, como a Transformada Discreta de Hilbert, a Transformada de Hilbert Bilinear e a Transformada de Hilbert Trilinear.

A utilidade da transformada de Hilbert advém do fato de a função g(x) = f(x) + i·û(x) (onde i é unidade imaginária) ser sempre uma função analítica (também chamada de função regular e função holomorfa) na metade superior do plano complexo, ou seja, uma função que é infinitamente diferenciável nesse domínio. Em outras palavras, em toda função analítica, a parte imaginária é a transformada de Hilbert da parte real.^{[1][nota 3]} Assim, a transformação de Hilbert é uma maneira prática de se obter a conjugada de uma função real qualquer f(x). Daí decorrem diversas aplicações práticas:

1. Para obter-se uma representação analítica de uma função. Em diversas aplicações, é mais fácil trabalhar com a função complexa g(x), por ser analítica, do que com a função real f(x).^[1]
   


2. Como uma maneira de generalizar o conceito de fasor em aplicações onde se lida com sinais de frequências variáveis no tempo. Neste caso, diferentemente da transformada de Fourier e outras relacionadas, representa-se o sinal não como uma soma dos seus componentes senoidais, e sim como um produto de duas funções, uma de alta e outra de baixa frequência.^[5]
   


3. Como uma ferramenta para demodular um sinal, obtendo o seu envelope (ou envoltória).^[6]
   

Este verbete trata principalmente da transformada "contínua" de Hilbert, isto é, a transformada de funções definidas em um espaço euclideano. A transformação pode ser aplicada também em espaços discretos (ver Transformada discreta de Hilbert, mais abaixo).) e espaços contínuos não-euclideanos, como um toroide^[3](ver Extensões em outros espaços, mais abaixo).

Definição |

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

H{f(x)}=u^(x)=1π∫−∞∞f(u)u−xdu(1a){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;{frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {f(u)}{u-x}};du;;;;;(1a)}

Convenções |

Como também acontece com outras transformadas, o sinal da integral na definição é matéria de convenção e pode ser invertido sem mudança nas propriedades essenciais da Transformada de Hilbert. Tal inversão se encontra frequentemente na literatura.

Também é frequente expressar a variável independente na transformada como y, em lugar de x, para deixar mais clara a relação entre as funções û(y) e f(x). Tal convenção não foi usada aqui.

Neste verbete, como se verifica em toda a literatura, x é sempre uma variável real. Portanto, f(x) e û(x) são sempre funções reais. s e z denotam variáveis complexas. k (minúscula), l, m e n são constantes reais inteiras. a e b são constantes complexas. K (maiúscula), p e q são constantes reais. t e ω são variáveis reais, denotando sempre as grandezas físicas tempo e frequência angular. Evitou-se referenciar a grandeza física frequência linear, de forma a evitarem-se ambiguidades; quando necessário, usa-se a expressão ω2π{displaystyle {frac {omega }{2pi }}}.

Cálculo e condições de existência |

O cálculo da integral contida na definição apresenta dificuldades, não só porque se trata de uma integral imprópria com limites infinitos, mas principalmente porque o integrando assume valores infinitos dentro do intervalo de integração (o que se chama uma singularidade). Para contornar essas dificuldades, divide-se a integral em duas partes de modo a obter-se a formulação alternativa

H{f(x)}=u^(x)=1πlimϵ→0(∫x−1ϵx−ϵf(u)u−xdu+∫x+ϵx+1ϵf(u)u−xdu)(2){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;{frac {1}{pi }};lim _{epsilon to 0}left(int _{x-{frac {1}{epsilon }}}^{x-epsilon }{frac {f(u)}{u-x}};du;+;int _{x+epsilon }^{x+{frac {1}{epsilon }}}{frac {f(u)}{u-x}};duright);;;;;(2)}

efetivamente excluindo-se do cálculo um intervalo simétrico de comprimento 2ε em torno da singularidade. Essa forma é chamada de valor principal de Cauchy da integral, por isso é comum, em textos mais formais, encontrar a definição da Transformada de Hilbert escrita assim:

H{f(x)}=u^(x)=1πPV(∫−∞∞f(u)u−xdu)(3){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;{frac {1}{pi }}PVleft(int _{-infty }^{infty }{frac {f(u)}{u-x}};duright);;;;;(3)}

As expressões (2) e (3) são rigorosamente equivalentes. Neste verbete, usamos (1a), por brevidade.

Substituindo-se variáveis (v = x + u, w = x - u), obtêm-se outras formulações alternativas:

H{f(x)}=u^(x)=1πlimϵ→0∫ϵ∞f(x+u)−f(x−u)udu(4){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;{frac {1}{pi }};lim _{epsilon to 0}int _{epsilon }^{infty }{frac {f(x+u);-;f(x-u)}{u}};du;;;;;(4)}

H{f(x)}=u^(x)=−1π∫−∞∞f(x−u)udu(5){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;-;{frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {f(x;-;u)}{u}};du;;;;;(5)}

Para que a integral em (2) convirja, a função f(x) precisa atender a certas condições. Titchmarsh demonstrou que as funções no Espaço L^p com 1<p<∞ possuem transformadas de Hilbert, bem como algumas no L¹.^[7]

Sabe-se também que a chamada condição de Paley-Wiener é necessária e suficiente para que a transformada exista.^[3]

A maioria das funções^{[nota 4]} de interesse em engenharia incluem-se nessa categoria. A tabela abaixo lista algumas dessas funções e suas respectivas transformadas.

Tabela de transformadas de Hilbert |

Para detalhes, ver também Derivação de algumas transformadas de Hilbert.

A transformada de Hilbert (em vermelho) de uma onda quadrada (em azul).

Tabela 1 - Transformadas de Hilbert de algumas funções f(x)^[8][2][1]

f(x){displaystyle f(x)}	u^(x){displaystyle {hat {u}}(x)}
K{displaystyle K}	0{displaystyle 0}
eix{displaystyle e^{ix}}	ieix{displaystyle ie^{ix}}
e−ix{displaystyle e^{-ix}}	−ie−ix{displaystyle -;ie^{-ix}}
sin⁡(x){displaystyle sin(x)}	cos⁡(x){displaystyle cos(x)}
cos⁡(x){displaystyle cos(x)}	−sin⁡(x){displaystyle -;sin(x)}
cas⁡(x){displaystyle operatorname {cas} (x)}	cas⁡(−x){displaystyle operatorname {cas} (-x)}
sin2⁡(x){displaystyle sin ^{2}(x)}	12sin⁡(2x){displaystyle {frac {1}{2}};sin(2x)}
cos2⁡(x){displaystyle cos ^{2}(x)}	−12cos⁡(2x){displaystyle -;{frac {1}{2}};cos(2x)}
δ(x){displaystyle delta (x)}	−1πx{displaystyle -;{frac {1}{pi x}}}
1x{displaystyle {frac {1}{x}}}	πδ(x){displaystyle pi delta (x)}
xx2+1{displaystyle {frac {x}{x^{2}+1}}}	1x2+1{displaystyle {frac {1}{x^{2}+1}}}
1x2+1{displaystyle {frac {1}{x^{2}+1}}}	−xx2+1{displaystyle -;{frac {x}{x^{2}+1}}}
x2−1(x2+1)2{displaystyle {frac {x^{2}-1}{(x^{2}+1)^{2}}}}	2x(x2+1)2{displaystyle {frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}}
x(x2+1)2{displaystyle {frac {x}{(x^{2}+1)^{2}}}}	121−x2(x2+1)2{displaystyle {frac {1}{2}}{frac {1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}}
1|x|{displaystyle {frac {1}{sqrt {|x|}}}}	1|x|{displaystyle {frac {1}{sqrt {|x|}}}}
rect⁡(x){displaystyle operatorname {rect} (x)}	1πln⁡|x−12x+12|{displaystyle {frac {1}{pi }}ln left|{frac {x;-;{frac {1}{2}}}{x;+;{frac {1}{2}}}}right|}
tri⁡(x){displaystyle operatorname {tri} (x)}	1π(ln⁡|x−1x+1|+ln⁡|x2x2− 1|){displaystyle {frac {1}{pi }}left(ln left|{frac {x;-;1}{x;+;1}}right|;+;ln left|{frac {x^{2}}{x^{2};- 1}}right|right)}
sinc⁡(x){displaystyle operatorname {sinc} (x)}	cos⁡(πx)−1x{displaystyle {frac {cos(pi x);-;1}{x}}}
sin⁡(x)x{displaystyle {frac {sin(x)}{x}}}	cos⁡(x)−1x{displaystyle {frac {cos(x);-;1}{x}}}
e−x2{displaystyle e^{-x^{2}}}	−e−x2erfi⁡(x){displaystyle -;e^{-x^{2}}operatorname {erfi} (x)}
onde: cas⁡(x){displaystyle operatorname {cas} (x),} (ing. "cosine and sine") é o núcleo da Transformada de Hartley δ(x){displaystyle delta (x),} é a função impulso unitário rect⁡(x){displaystyle operatorname {rect} (x),} é a função retangular sinc⁡(x){displaystyle operatorname {sinc} (x),} é a função seno cardinal tri⁡(x){displaystyle operatorname {tri} (x),} é a função triangular erfi⁡(x){displaystyle operatorname {erfi} (x),} é a função erro imaginário

Transformada inversa^{[nota 5]} |

A transformada de Hilbert tem a propriedade conveniente de ser o negativo de sua própria inversa (o que se chama uma anti-involução):

H{f(x)}=u^(x)=−H−1{f(x)}{displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;-;{mathcal {H}}^{-1}{f(x)}}

Isso é uma consequência do fato de a aplicação da transformação duas vezes sucessivas resultar no negativo da função original

H{u^(x)}=H{H{f(x)}}=−f(x){displaystyle {mathcal {H}}{{hat {u}}(x)};=;{mathcal {H}}{{mathcal {H}}{f(x)}};=;-;f(x)}

Uma consequência interessante é que a aplicação da transformação três vezes sucessivas resulta na transformada inversa

H{H{H{f(x)}}}=f(x){displaystyle {mathcal {H}}{{mathcal {H}}{{mathcal {H}}{f(x)}}};=;f(x)}

e assim por diante. Essas propriedades ficam mais claras se expressas através de operadores:

• H=−H−1{displaystyle {mathcal {H}};=;-;{mathcal {H}}^{-1}}


• H2=−I{displaystyle {mathcal {H}}^{2};=;-;{mathcal {I}}}


• H3=H−1{displaystyle {mathcal {H}}^{3};=;{mathcal {H}}^{-1}}


• H4=I{displaystyle {mathcal {H}}^{4};=;{mathcal {I}}}

Convolução |

Por inspeção direta da expressão (1a), percebe-se que a função û(x) é a convolução da função f(x) com a função (−1πx){displaystyle left(-;{frac {1}{pi ;x}}right)}. Essa função é chamada núcleo de Hilbert, e será denotada neste verbete como h(x). Assim, uma outra expressão para a definição da Transformada de Hilbert é a seguinte:

H{f(x)}=u^(x)=h(x)∗f(x)(6a){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(x);=;h(x)*f(x);;;;;;(6a)}

Formas alternativas da transformada de Hilbert |

A transformada de Hilbert, definida pela equação (1a), pode ser expressa de forma alternativa com a introdução das variáveis auxiliares η e ζ tais que

x=tan⁡(η2)u=tan⁡(ζ2)(1b){displaystyle x;=;tan left({frac {eta }{2}}right);;;;;u;=;tan left({frac {zeta }{2}}right);;;;;(1b)}

obtendo-se as expressões

H{f(x)}=u^(ζ)=12π∫−ππf(tan⁡(η2))⋅[tan⁡(η2)+cot⁡(η−ζ2)]dη(1c){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(zeta );=;{frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }fleft(tan left({frac {eta }{2}}right)right)cdot left[tan left({frac {eta }{2}}right);+;cot left({frac {eta ;-;zeta }{2}}right)right];deta ;;;;;(1c)}

e

H{f(x)}=u^(ζ)=12π∫02πf(−cot⁡(η2))⋅[cot⁡(η2)+cot⁡(η−ζ2)]dη(1d){displaystyle {mathcal {H}}{f(x)};=;{hat {u}}(zeta );=;{frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }fleft(-cot left({frac {eta }{2}}right)right)cdot left[cot left({frac {eta }{2}}right);+;cot left({frac {eta ;-;zeta }{2}}right)right];deta ;;;;;(1d)}

Quando definida por meio das equações (1c) ou (1d), a transformada de Hilbert possui todas as propriedades da transformação definida pela equação (1a), inclusive a anti-simetria da transformada inversa, e ainda a propriedade adicional de ser uma função periódica em ζ.^[9]

Propriedades elementares |

Linearidade |

Da expressão (1a), segue-se imediatamente que a transformada de Hilbert é um operador linear. Assim, podemos escrever

H{a1f1(x)+a2f2(x)}=a1H{f1(x)}+a2H{f2(x)}{displaystyle {mathcal {H}}{a_{1}f_{1}(x);+;a_{2}f_{2}(x)};=;a_{1}{mathcal {H}}{f_{1}(x)};+;a_{2}{mathcal {H}}{f_{2}(x)}}

Dilatação e deslocamento do eixo |

Da expressão (1a), segue-se imediatamente que

H{f(ax)}=sgn⁡(a)⋅u^(ax){displaystyle {mathcal {H}}{f(ax)};=;operatorname {sgn} (a);cdot ;{hat {u}}(ax)}

onde sgn(a) é a chamada função sinal de a, e

H{f(x+a)}=u^(x+a){displaystyle {mathcal {H}}{f(x;+;a)};=;{hat {u}}(x;+;a)}

Convolução |

Da expressão (1a), também se segue que

H{f1(x)∗f2(x)}=H{f1(x)}∗f2(x)=f1∗H{f2(x)}{displaystyle {mathcal {H}}{f_{1}(x);*;f_{2}(x)};=;{mathcal {H}}{f_{1}(x)};*;f_{2}(x);=;f_{1};*;{mathcal {H}}{f_{2}(x)}}

e que

H{f1(x)∗f2(x)}=−H{f1(x)}∗H{f2(x)}{displaystyle {mathcal {H}}{f_{1}(x);*;f_{2}(x)};=;-;{mathcal {H}}{f_{1}(x)};*;{mathcal {H}}{f_{2}(x)}}

Comutatividade com relação à diferenciação |

Da expressão (5), aplicando-se a fórmula de Leibniz para a derivação de uma integral, segue-se que

ddxH{f(x)}=ddx(−1π∫−∞∞f(x−u)udu)=−1π∫−∞∞∂∂x(f(x−u)u)du{displaystyle {frac {d}{dx}};{mathcal {H}}{f(x)};=;{frac {d}{dx}}left(;-;{frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {f(x;-;u)}{u}};duright);=;-;{frac {1}{pi }};int _{-infty }^{infty }{frac {partial }{partial x}}left({frac {f(x;-;u)}{u}}right);du}

ddxH{f(x)}=−1π∫−∞∞1u⋅ddxf(x−u)⋅du=H{ddxf(x)}{displaystyle {frac {d}{dx}};{mathcal {H}}{f(x)};=;-;{frac {1}{pi }};int _{-infty }^{infty }{frac {1}{u}}cdot {frac {d}{dx}}f(x;-;u)cdot du;=;{mathcal {H}}{{frac {d}{dx}};f(x)}}

Invariância |

O operador H{displaystyle {mathcal {H}}} apresenta propriedades de invariância quando combinado com outros operadores; por exemplo, o operador da transformação de Fourier, F{displaystyle {mathcal {F}}}:

H=F−1⋅H⋅F(6b){displaystyle {mathcal {H}};=;{mathcal {F}}^{-1}cdot {mathcal {H}}cdot {mathcal {F}};;;;;(6b)}

Essa propriedade deriva do fato de a transformada de Hilbert da função impulso unitário ser igual ao núcleo de Hilbert h(x).

Relação com as equações de Cauchy-Riemann |

O fato de uma função u(x){displaystyle u(x)} e sua transformada u^(x){displaystyle {hat {u}}(x)} estarem relacionadas de forma tal que a função complexa f(z)=u(z)+iu^(z){displaystyle f(z);=;u(z)+i{hat {u}}(z)} é analítica no semi-plano superior complexo implica que as equações de Cauchy-Riemann são obedecidas, ou seja, pode-se escrever:

∂u∂x=∂u^∂y{displaystyle {frac {partial u}{partial x}};=;{frac {partial {hat {u}}}{partial y}}}

∂u∂y=−∂u^∂x{displaystyle {frac {partial u}{partial y}};=;-{frac {partial {hat {u}}}{partial x}}}

∀z=x+iy|y≥0{displaystyle forall z;=;x;+;iy;|;y;geq ;0}

Em consequência, se derivarmos novamente as equações acima, obteremos

∂2u∂x2=∂2u^∂x∂y{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}};=;{frac {partial ^{2}{hat {u}}}{partial xpartial y}}}

∂2u∂y2=−∂2u^∂y∂x{displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}};=;-{frac {partial ^{2}{hat {u}}}{partial ypartial x}}}

assim,

∂2u∂x2+∂2u∂y2=0(6c){displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}};+;{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}};=;0;;;;;(6c)}

De forma similar, podemos obter também

∂2u^∂x2+∂2u^∂y2=0(6d){displaystyle {frac {partial ^{2}{hat {u}}}{partial x^{2}}};+;{frac {partial ^{2}{hat {u}}}{partial y^{2}}};=;0;;;;;(6d)}

Como a função u(z) é real, temos obrigatoriamente

u(x,0)=u(x)(6e){displaystyle u(x,0);=;u(x);;;;;(6e)}

limx→∞u(x,y)=limx→−∞u(x,y)=limy→∞u(x,y)=0(6f){displaystyle lim _{xto infty }u(x,y);=;lim _{xto -infty }u(x,y)=lim _{yto infty }u(x,y);=;0;;;;;(6f)}

As equações (6c) e (6d) são exemplos da conhecida Equação de Laplace. Assim, a tarefa de encontrar o par de funções u(x){displaystyle u(x)} e u^(x){displaystyle {hat {u}}(x)} equivale a resolver um sistema de equações de Laplace com as condições de contorno dadas pelas equações (6e) e (6f).^[4]

Interpretações físicas |

Interpretação no domínio do tempo |

Resposta do filtro de Hilbert no domínio do tempo.

Se, na expressão (6a), a variável independente for o tempo, a interpretação imediata é que a função û(t) é a resposta de um dispositivo a um sinal de entrada descrito por f(t). A função h(t) seria, nesse caso, a resposta desse dispositivo a um impulso unitário na sua entrada; tal resposta caracterizaria o dispositivo como um filtro linear invariante no tempo. Esse dispositivo é chamado filtro de Hilbert ou transformador de Hilbert (Hilbert transformer).^[2]

Interpretação no domínio da frequência |

Resposta do filtro de Hilbert no domínio da frequência.

Se denotarmos a transformada de Fourier^{[nota 6]} de uma função f(x) por F{f(x)}=G(ω){displaystyle {mathcal {F}}{f(x)};=;G(omega )}, a sua aplicação ao núcleo de Hilbert h(x) dará

F{h(x)}=i⋅sgn⁡(ω)(7){displaystyle {mathcal {F}}{h(x)};=;icdot operatorname {sgn} (omega );;;;;(7)}

Podemos calcular, a partir das expressões (6a) e (7), a transformada de Fourier de uma função û(x) qualquer, que denotaremos por G^(x){displaystyle {hat {G}}(x)}

G^(x)=F{u^(x)}=F{f(x)∗h(x)}{displaystyle {hat {G}}(x);=;{mathcal {F}}{{hat {u}}(x)};=;{mathcal {F}}{f(x)*h(x)}}

G^(x)=F{f(x)}⋅F{h(x)}=G(ω)⋅(i⋅sgn⁡(ω)){displaystyle {hat {G}}(x);=;{mathcal {F}}{f(x)}cdot {mathcal {F}}{h(x)};=;G(omega )cdot (icdot operatorname {sgn} (omega ))}

G^(x)=F{u^(x)}={−iG(ω):ω<00:ω=0iG(ω):ω>0.(8a){displaystyle {hat {G}}(x);=;{mathcal {F}}{{hat {u}}(x)};=;left{{begin{matrix}-iG(omega )&:&omega <0\0&:&omega =0\iG(omega )&:&omega >0.end{matrix}}right.;;;;;(8a)}

Podemos interpretar (8a) no domínio da frequência, da seguinte maneira: a aplicação da transformada de Hilbert a uma função f(t) faz com que suas componentes harmônicas negativas sejam multiplicadas por -i, o que equivale a um deslocamento de −π2{displaystyle -{frac {pi }{2}}} na sua fase, que suas componentes harmônicas positivas sejam multiplicadas por i, o que equivale a um deslocamento de fase de π2{displaystyle {frac {pi }{2}}}, e que a componente contínua (ω=0) seja eliminada. A partir dessa propriedade, vê-se claramente por que a aplicação dessa filtragem duas vezes sucessivas resulta exatamente na inversão do sinal original: todas as componentes são multiplicadas por i² = -1.^[2][1]

Em análise de sinais, como a transformação de Hilbert apenas muda a fase de um sinal de entrada f(t) (sendo que, nos casos práticos, t sempre é maior que 0), a densidade de energia espectral do sinal de saída û(t), que é dada por |û(t)|, é a mesma daquela do sinal de entrada, que é dada por |f(t)| ou 12πF(ω){displaystyle {frac {1}{2pi }}F(omega )}, de acordo com Lord Rayleigh (ver também o Teorema de Parseval e o Teorema de Plancherel, que são generalizações posteriores do teorema original de Rayleigh).^[2][5]

Da expressão (8a), segue que, se o sinal f(t) e sua transformada û(t) forem expressos pelas correspondentes séries de Fourier, os componentes b_k de uma serão iguais aos componentes a_k da outra, a menos do sinal, para todo k > 0. Uma maneira informal de enunciar isso é dizer que a transformação de Hilbert troca os senos pelos cossenos na representação no domínio da frequência.

Uma consequência prática da expressão (8a) é que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste (ver Cálculo por métodos numéricos).

Causalidade |

Diz-se que um filtro é causal quando sua saída num tempo t_k não depende de nenhum valor de t > t_k. Acredita-se que todos os sistemas físicos possuam essa propriedade. Assim, um filtro, para ser construído fisicamente, precisa ser causal.^{[nota 7]}

Uma propriedade que se segue diretamente da definição acima é que a resposta desse filtro ao impulso é nula para t < 0.

Com respeito à causalidade, a transformação de Hilbert possui as seguintes propriedades:

• Como a resposta do fitro de Hilbert ao impulso não é nula para t < 0, ele não é um filtro causal.


• Demonstra-se que, se a transformada de Hilbert da resposta em frequência de um filtro existir, isso é condição necessária e suficiente para que tal filtro seja um filtro causal.^[6]
  

Implementação física de transformadores de Hilbert |

Diagrama lógico de um filtro de Hilbert de resposta finita de sexta ordem. Tanto um filtro analógico quanto um filtro digital podem ser implementados a partir desse diagrama.

Como um filtro de Hilbert não é um sistema causal, ele é fisicamente irrealizável. Podem-se construir, contudo, filtros de Hilbert analógicos ou digitais com resposta aproximada. A resposta de tais filtros, além de apresentar distorções em relação à resposta do filtro ideal, dada pela equação (8a), exibe necessariamente um atraso com relação ao sinal de entrada. Esses dois pontos, atraso e precisão na resposta, constituem então critérios de comparação entre diferentes implementações de um filtro de Hilbert. Outros critérios importantes são a estabilidade com o envelhecimento dos componentes e imunidade a perturbações externas, como variações de temperatura, vibração, etc. Em geral, um filtro digital é mais fácil e mais barato para se implementar do que um filtro analógico com as mesmas características de atraso, precisão, estabilidade e imunidade. A base para a construção de um filtro de Hilbert digital é a Transformada Discreta de Hilbert, tratada mais abaixo.

A resposta em frequência e em fase de um filtro de Hilbert ideal é dada pelas fórmulas seguintes:

A(f)={−i:f<00:f=0i:f>0.(8b){displaystyle A(f);=;left{{begin{matrix}-i&:&f<0\0&:&f=0\i&:&f>0.end{matrix}}right.;;;;;(8b)}

ϕ(f)=Arg⁡(h^(t))=π2⋅sgn⁡(f)(8c){displaystyle phi (f);=;operatorname {Arg} ({hat {h}}(t));=;{frac {pi }{2}}cdot operatorname {sgn} (f);;;;;(8c)}

onde f é a frequência do sinal de entrada, A é o valor do sinal de saída e φ, seu ângulo de fase. Ou seja, o sinal de entrada é dado pela equação I(t)=e2πft{displaystyle I(t);=;e^{2pi ft}} e o sinal de saída por O(t)=Ae2πft+ϕ{displaystyle O(t);=;Ae^{2pi ft;+;phi }}. Arg(x) é a função argumento principal e h(t) é o núcleo de Hilbert, cuja transformada é h^(t){displaystyle {hat {h}}(t)}.^[9]

Outras propriedades importantes |

Conjugado harmônico |

Se denotarmos o valor da transformada de Fourier para um dado valor de x=x₁ como

G(x)|x=x1=G(x1)=z1=a+ib{displaystyle left.G(x)right|_{x=x1};=;G(x_{1});=;z_{1};=;a;+;ib}

então, de (8a), temos que

u^(x)|x=x1=u^(x1)={b−ia:x<00:x=0−b+ia:x>0.(9a){displaystyle left.{hat {u}}(x)right|_{x=x1};=;{hat {u}}(x_{1});=;left{{begin{matrix}b-ia&:&x<0\0&:&x=0\-b+ia&:&x>0.end{matrix}}right.;;;;;(9a)}

Vemos, de (9a), que transformação de Hilbert efetua a troca entre as partes real e imaginária de uma função complexa. Essa propriedade é útil porque permite seu uso para encontrar as componentes conjugadas de uma dada função f(x)^[2] (ver os itens Funções conjugadas e Interpretação no domínio da frequência neste verbete).

Simetria e ortogonalidade |

Em aplicações físicas, em geral f(x) é uma função real, e, como consequência, o mesmo acontece com û(x). Como a transformada de Fourier exibe simetria hermitiana para valores reais, ou seja,

G(−ω)=G∗(ω) ∀ω∈R{displaystyle G(-omega );=;G^{*}(omega );; forall ;omega in mathbb {R} }

isso se verifica também para G^(x)=F{u^(x)}{displaystyle {hat {G}}(x);=;{mathcal {F}}{{hat {u}}(x)}}. Assim, se û(x) for uma função par, û(-x)=û(x), e a condição G^(−x)=G∗(x){displaystyle {hat {G}}(-x);=;G^{*}(x)} implica G^(x)=G∗(x){displaystyle {hat {G}}(x);=;G^{*}(x)}, o que só é possível se G^(x){displaystyle {hat {G}}(x)} for uma função real. Inversamente, se û(x) for uma função ímpar, û(-x)=-û(x), e a condição G^(−x)=G∗(x){displaystyle {hat {G}}(-x);=;G^{*}(x)} implica G^(x)=−G∗(x){displaystyle {hat {G}}(x);=;-;G^{*}(x)}, o que só é possível se G^(x){displaystyle {hat {G}}(x)} for uma função de valores puramente imaginários.

Além disso, a expressão (8a) mostra diretamente que, se G^(x){displaystyle {hat {G}}(x)} for uma função real, G(ω) será uma função puramente imaginária e que, se G^(x){displaystyle {hat {G}}(x)} for uma função puramente imaginária, G(ω) será uma função real. Mas a simetria hermitiana da transformada de Fourier obriga f(x) a ser uma função par no primeiro caso, e ímpar no segundo. O resultado é que, quando û(x) for uma função par, f(x) será uma função ímpar; quando û(x) for uma função ímpar, f(x) será uma função par.

A partir dessas propriedades de, pode-se provar facilmente que as funções f(x) e û(x) são ortogonais, pois

EM{f(x),u^(x))}=∫−∞∞f(x)⋅u^(x)dx=0(9b){displaystyle E_{M}{f(x),{hat {u}}(x))};=;int _{-infty }^{infty }f(x)cdot {hat {u}}(x);dx;=;0;;;;;(9b)}

uma vez que o integrando será sempre uma função ímpar.^[1][9] Em Física, a variável x tem dimensão temporal, e a grandeza E_M é chamada a energia mútua das funções f(t) e û(t).^[9]

Transformada de um produto de funções |

Se a função f(x) for o produto de duas funções f₁(x) e f₂(x), então G(ω)=G₁(ω)*G₂(ω) (pelo teorema da convolução). Podemos escrever G₂(ω)=G₂(ω)·(u₁(ω) + u₁(-ω)), por exemplo, onde u₁(x) é a função degrau unitário ((u₁(x) + u₁(-x) = 1). Assim, G(ω)=G₁(ω)*[G₂(ω)·u₁(ω) + G₂(ω)·u₁(-ω)]=G₁(ω)*G₂(ω)·u₁(ω) + G₁(ω)*G₂(ω)·u₁(-ω)]. Evidentemente, o primeiro termo é nulo para ω<0, e o segundo termo é nulo para ω>0. Daí, segue-se que

G^(x)=[G1(ω)∗G2(ω)⋅u1(ω)+G1(ω)∗G2(ω)⋅u1(−ω)]⋅(i⋅sgn⁡(ω)){displaystyle {hat {G}}(x);=;left[G_{1}(omega )*G_{2}(omega )cdot u_{1}(omega );+;G_{1}(omega )*G_{2}(omega )cdot u_{1}(-omega )right]cdot (icdot operatorname {sgn} (omega ))}

G^(x)=i⋅(1)⋅G1(ω)∗G2(ω)⋅u1(ω)+i⋅(−1)⋅G1(ω)∗G2(ω)⋅u1(−ω){displaystyle {hat {G}}(x);=;icdot (1)cdot G_{1}(omega )*G_{2}(omega )cdot u_{1}(omega );+;icdot (-1)cdot G_{1}(omega )*G_{2}(omega )cdot u_{1}(-omega )}

Desenvolvendo a expressão, temos

G^(x)=G1(ω)∗[iG2(ω)⋅u1(ω)−iG2(ω)⋅u1(−ω)]=G1(ω)∗[i⋅G2(ω)⋅(u1(ω)−u1(−ω))]{displaystyle {hat {G}}(x);=;G_{1}(omega )*left[iG_{2}(omega )cdot u_{1}(omega );-;iG_{2}(omega )cdot u_{1}(-omega )right];=;G_{1}(omega )*left[icdot G_{2}(omega )cdot left(u_{1}(omega );-;u_{1}(-omega )right)right]}

G^(x)=G1(ω)∗[i⋅G2(ω)⋅sgn⁡(ω)]=G1(ω)∗G^2(ω){displaystyle {hat {G}}(x);=;G_{1}(omega )*left[icdot G_{2}(omega )cdot operatorname {sgn} (omega )right];=;G_{1}(omega )*{hat {G}}_{2}(omega )}

Podemos, então, escrever

F{H{f1(x)⋅f2(x)}}=G^(x)=F{f1(x)}∗F{H{f2(x)}}=F{f1(x)}⋅H{f2(x)}}{displaystyle {mathcal {F}}{{mathcal {H}}{f_{1}(x)cdot f_{2}(x)}};=;{hat {G}}(x);=;{mathcal {F}}{f_{1}(x)}*{mathcal {F}}{{mathcal {H}}{f_{2}(x)}};=;{mathcal {F}}{f_{1}(x)}cdot {mathcal {H}}{f_{2}(x)}}}

Assim, as funções H{f1(x)⋅f2(x)}{displaystyle {mathcal {H}}{f_{1}(x)cdot f_{2}(x)}} e f1(x)⋅H{f2(x)}{displaystyle f_{1}(x)cdot {mathcal {H}}{f_{2}(x)}} possuem a mesma transformada de Fourier. Devido à propriedade de linearidade desta, podemos dizer que essas funções são idênticas, a menos da adição de uma função f₀(x) cuja transformada de Fourier fosse nula. De acordo com o Teorema de Lerch, uma função com essa propriedade teria que ser uma função nula,^[10] portanto podemos desprezá-la em aplicações práticas e escrever:

H{f1(x)⋅f2(x)}=f1(x)⋅H{f2(x)}(10a){displaystyle {mathcal {H}}{f_{1}(x)cdot f_{2}(x)};=;f_{1}(x)cdot {mathcal {H}}{f_{2}(x)};;;;;(10a)}

A expressão (10a) é conhecida como identidade de Bedrosian.^[11] O problema de quais são as condições que as funções f₁(x) e f₂(x) precisam atender para que a transformada de Hilbert de f(x) exista ainda está em aberto, mas a restrição mais usada (ou seja, a menos estrita) é que existam valores x₁ e x₂ tais que f₁(x)=0 para todo x>x₁, que f₂(x)=0 para todo x>x₂, e que x₂>x₁.^{[nota 8][12][13]} Uma condição mais estrita, mas mais simples, é que f₁ e f sejam funções analíticas.

De acordo com essa expressão, quando precisarmos computar a transformada de Hilbert de um produto de duas funções, só será preciso calcular a transformada da função de alta frequência e multiplicá-la pela outra.

Outra consequência da expressão (10a) é que o produto dessas duas funções pode ser expresso como

f1(x)⋅f2(x)=−i⋅H{f1}⋅f2(x)(10b){displaystyle f_{1}(x)cdot f_{2}(x);=;-;icdot {mathcal {H}}{f_{1}}cdot f_{2}(x);;;;;(10b)}

Autocorrelação |

De (8a) segue-se também que f(x) e û(x) têm a mesma função de autocorrelação, que é definida como a convolução de uma função com seu conjugado complexo:

Rff(τ)=(f(x)∗f∗(−x))(τ)=∫−∞∞f(x+τ)⋅f∗(x)dx{displaystyle R_{ff}(tau )=left(f(x)*f^{*}(-x){frac {}{}}right)(tau )=int _{-infty }^{infty }f(x;+;tau )cdot f^{*}(x);dx}^[1]

Representações alternativas para a função f(x) |

Filtros passa-baixas e passa-altas |

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa em função de duas componentes f_L(x) e f_H(x) com o auxílio da função seno cardinal:

f(x)=fL(x)+fH(x)(11a){displaystyle f(x);=;f_{L}(x);+;f_{H}(x);;;;;(11a)}

com

fL(x)=f(x)∗2fcsinc⁡(2fcx)=f(x)∗2fcsin⁡(π⋅2fcx)π⋅2fcx=f(x)∗sin⁡(2πfcx)πx(11b){displaystyle f_{L}(x);=;f(x);*;2f_{c};operatorname {sinc} (2f_{c}x);=;f(x);*;2f_{c};{frac {sin(pi cdot 2f_{c}x)}{pi cdot 2f_{c}x}};=;f(x);*;{frac {sin(2pi f_{c}x)}{pi x}};;;;;(11b)}

e, evidentemente,

fH(x)=f(x)−fL(x)=f(x)−[f(x)∗sin⁡(2πfcx)πx]=f(x)∗[δ(x)−sin⁡(2πfcx)πx](11c){displaystyle f_{H}(x);=;f(x);-;f_{L}(x);=;f(x);-;left[f(x);*;{frac {sin(2pi f_{c}x)}{pi x}}right];=;f(x);*;left[delta (x);-;{frac {sin(2pi f_{c}x)}{pi x}}right];;;;;(11c)}

onde δ(x) é a função impulso unitário. A idéia é que f_L(x) contenha todas as componentes de frequências baixas (ω<2πf_c) do sinal, e f_H(x) contenha as componentes de frequências altas (ω>2πf_c). Para verificar que isso realmente acontece, basta calcular as transformadas de Fourier

GL(ω)=F{fL(x)}=F{f(x)∗sin⁡(2πfcx)πx}=F{f(x)}⋅F{sin⁡(2πfcx)πx}=G(ω)⋅rect⁡(2fc){displaystyle {G_{L}(omega )={mathcal {F}}{f_{L}(x)}={mathcal {F}}left{f(x)*{frac {sin(2pi f_{c}x)}{pi x}}right}={mathcal {F}}{f(x)}cdot {mathcal {F}}left{{frac {sin(2pi f_{c}x)}{pi x}}right}=G(omega )cdot operatorname {rect} (2f_{c})}}

onde rect(x) é a função retangular:

rect⁡(2fc)=⊓(2fc)={0if |x|>fc12if |x|=fc1if |x|<fc{displaystyle operatorname {rect} (2f_{c})=sqcap (2f_{c})={begin{cases}0&{text{if }}|x|>f_{c}\[3pt]{frac {1}{2}}&{text{if }}|x|=f_{c}\[3pt]1&{text{if }}|x|<f_{c}end{cases}}}

De maneira similar,

GH(ω)=F{fH(x)}=F{f(x)∗[δ(x)−sin⁡(2πfcx)πx]}=G(ω)⋅[1−rect⁡(2fc)]{displaystyle G_{H}(omega )={mathcal {F}}{f_{H}(x)}={mathcal {F}}left{f(x)*left[delta (x)-{frac {sin(2pi f_{c}x)}{pi x}}right]right}=G(omega )cdot left[1-operatorname {rect} (2f_{c})right]}

A função sinc(x), portanto, funciona como um filtro passa-baixas ideal.

Funções conjugadas |

Uma função qualquer f(x) pode ser expressa de forma alternativa em função de duas componentes conjugadas f₁(x) e f₂(x):

f(x)=f1(x)+f2(x)(12a){displaystyle f(x);=;f_{1}(x);+;f_{2}(x);;;;;(12a)}

com

f1(x)=12(f(x)+ig(x))(12b){displaystyle f_{1}(x);=;{frac {1}{2}}left(f(x);+;ig(x)right);;;;;(12b)}

f2(x)=12(f(x)−ig(x))(12c){displaystyle f_{2}(x);=;{frac {1}{2}}left(f(x);-;ig(x)right);;;;;(12c)}

É fácil ver que a expressão (12a) é válida para qualquer g(x). No entanto, se fizermos g(x) = û(x), o espectro de frequências de f₁(x) e f₂(x) terá características muito interessantes, pois

F{f1(x)}=G1(ω)=F{12(f(x)+iu^(x))}=12(G(ω)+iG^(x)){displaystyle {mathcal {F}}{f_{1}(x)};=;G_{1}(omega );=;{mathcal {F}}{{frac {1}{2}}left(f(x);+;i{hat {u}}(x)right)};=;{frac {1}{2}}left(G(omega );+;i{hat {G}}(x)right)}

G1(ω)=12(G(ω)+i(i⋅sgn⁡(ω)⋅G(ω)))=G(ω)u(ω)(12d){displaystyle G_{1}(omega );=;{frac {1}{2}}left(G(omega );+;i(icdot operatorname {sgn} (omega )cdot G(omega ))right);=;G(omega )u(omega );;;;;(12d)}

Similarmente, teremos

F{f2(x)}=G2(ω)=12(G(ω)−i(i⋅sgn⁡(ω)⋅G(ω))=G(ω)u(−ω)(12e){displaystyle {mathcal {F}}{f_{2}(x)};=;G_{2}(omega );=;{frac {1}{2}}left(G(omega );-;i(icdot operatorname {sgn} (omega )cdot G(omega )right);=;G(omega )u(-omega );;;;;(12e)}

O exame das expressões (12d) e (12e) revela que, nessa decomposição, uma das funções é composta por todas as componentes com frequências positivas de f(x), e a outra, por todas as componentes com frequências negativas. Por isso, essas funções são frequentemente notadas como f₊(x) e f_-(x).

Cálculo por métodos numéricos |

O cálculo da transformada de Hilbert através da integração direta, a partir de alguma das suas fórmulas de definição, funciona bem para funções que não apresentem descontinuidades e que decresçam rapidamente com o aumento do valor de x. Para outros casos, devem-se empregar artifícios; um deles é usar polinômios de Hermite para calcular as integrais. Em todos os casos, como a distribuição de energia das funções f(x) e û(x) é a mesma (como mostrado aqui), o valor da energia de f(x) e de û(x), em cada frequência, pode ser calculado e comparado, de forma a obter-se uma estimativa da qualidade da aproximação resultante do método de cálculo escolhido.^[5]

Da expressão (8a), segue que a transformada de Hilbert de um sinal f(t) pode ser computada através da transformada de Fourier deste, da seguinte maneira^[5]:

1. Em primeiro lugar, expressa-se f(t) na forma de uma série de Fourier.


2. Depois, trocam-se os coeficientes dos componentes em senos pelos coeficientes em cossenos e vice-versa (isso equivale a aplicar os desvios de fase de π2{displaystyle {frac {pi }{2}}} e −π2{displaystyle -{frac {pi }{2}}} onde necessário); a componente DC deve ser desprezada.

Outro método que pode ser usado é o seguinte:

1. Em primeiro lugar, calcula-se a transformada de Fourier de f(t) (por exemplo, por meio da Transformada Rápida de Fourier.


2. Depois, multiplicam-se os coeficientes dos componentes de frequências negativas por -1, deixando-se os demais inalterados; a componente DC deve ser desprezada.


3. Calcula-se a transformada inversa de Fourier do resultado.

Isso é possível devido à propriedade de invariância com relação ao operador da transformação de Fourier.

Pode-se também usar um método similar para calcular û(t) a partir da Transformada de Hartley, conforme se vê em Bracewell (2000).^[1]

Aplicações |

Modulação |

A forma geral de uma onda modulada em amplitude (AM) é

s(t)=Ac[1+Kam(t)]⋅cos⁡(2πfct+θ)(13a){displaystyle s(t);=;A_{c}left[1;+;K_{a}m(t)right]cdot cos(2pi f_{c}t;+;theta );;;;;(13a)}

Um inconveniente da modulação em amplitude é que o espectro de s(t) é simétrico em relação à frequência da portadora. Isso implica que o sinal contém informação redundante, que ocupa banda passante e gasta energia dos transmissores desnecessariamente. Por isso, em lugar da forma padrão, também chamada de DSB-FC (bandas laterais duplas com portadora, ing. double side banded - full carrier), é vantajoso adotar a forma SSB (banda lateral simples, ing. single side banded).

Teoricamente, poder-se-ia eliminar a banda lateral por meio de um filtro convencional. No entanto, tal filtro teria que ter um fator de qualidade muito grande, com largura de banda estreita e atenuação elevada, o que torna difícil construí-lo a partir de um circuito eletrônico convencional. Uma alternativa é usar um filtro de Hilbert.

De acordo com as expressões (10) e (11), podemos escrever, considerando f(t) = A_c [1 + K_am(t)] (o sinal modulador), e assumindo que, em aplicações práticas, as frequências nele presentes são sempre muito menores que f_c:

H{s(t)}=s^(t)=f(t)⋅H{cos⁡(2πfct+θ)}=f(t)⋅(−sin⁡(2πfct+θ))(13b){displaystyle {mathcal {H}}{s(t)};=;{hat {s}}(t);=;f(t)cdot {mathcal {H}}{cos(2pi f_{c}t;+;theta )};=;f(t)cdot left(-;sin(2pi f_{c}t;+;theta )right);;;;;(13b)}

Em primeiro lugar, expressa-se o sinal s(t) em função de duas componentes de frequências altas e baixas s_U(t) e s_L(t), ambas derivadas de f(t) e sua transformada, û(t):

s(t)=f(t)⋅cos⁡(2πfct+θ)=sU(t)+sL(t)(13c){displaystyle s(t);=;f(t)cdot cos(2pi f_{c}t;+;theta );=;s_{U}(t);+;s_{L}(t);;;;;(13c)}

sendo

sU(t)=12(f(t)⋅cos⁡(2πfct+θ)−u^(t)⋅sin⁡(2πfct+θ))(13d){displaystyle s_{U}(t);=;{frac {1}{2}}left(f(t)cdot cos(2pi f_{c}t;+;theta );-;{hat {u}}(t)cdot sin(2pi f_{c}t;+;theta )right);;;;;(13d)}

sL(t)=12(f(t)⋅cos⁡(2πfct+θ)+u^(t)⋅sin⁡(2πfct+θ))(13e){displaystyle s_{L}(t);=;{frac {1}{2}}left(f(t)cdot cos(2pi f_{c}t;+;theta );+;{hat {u}}(t)cdot sin(2pi f_{c}t;+;theta )right);;;;;(13e)}

Desenvolvendo s_U(t), teremos

sU(t)=12[f(t)⋅12(ei(2πfct+θ)+e−i(2πfct+θ))−u^(t)⋅−i2(ei(2πfct−θ)−e−i(2πfct+θ))]{displaystyle s_{U}(t);=;{frac {1}{2}}left[f(t)cdot {frac {1}{2}}left(e^{i(2pi f_{c}t;+;theta )};+;e^{-i(2pi f_{c}t;+;theta )}right);-;{hat {u}}(t)cdot {frac {-i}{2}}left(e^{i(2pi f_{c}t;-;theta )};-;e^{-i(2pi f_{c}t;+;theta )}right)right]}

sU(t)=12[12(f(t)+iu^(t))⋅ei(2πfct+θ)+12(f(t)−iu^(t))⋅e−i(2πfct+θ)]{displaystyle s_{U}(t);=;{frac {1}{2}}left[{frac {1}{2}}left(f(t);+;i{hat {u}}(t)right)cdot e^{i(2pi f_{c}t;+;theta )};+;{frac {1}{2}}left(f(t);-;i{hat {u}}(t)right)cdot e^{-i(2pi f_{c}t;+;theta )}right]}

De forma similar,

sL(t)=12[12(f(t)+iu^(t))⋅ei(2πfct+θ)−12(f(t)−iu^(t))⋅e−i(2πfct+θ)]{displaystyle s_{L}(t);=;{frac {1}{2}}left[{frac {1}{2}}left(f(t);+;i{hat {u}}(t)right)cdot e^{i(2pi f_{c}t;+;theta )};-;{frac {1}{2}}left(f(t);-;i{hat {u}}(t)right)cdot e^{-i(2pi f_{c}t;+;theta )}right]}

Por inspeção das expressões (12a) a (12c), podemos escrever

sU(t)=12[s+(t)⋅ei(2πfct+θ)+s−(t)⋅e−i(2πfct+θ)](13f){displaystyle s_{U}(t);=;{frac {1}{2}}left[s_{+}(t)cdot e^{i(2pi f_{c}t;+;theta )};+;s_{-}(t)cdot e^{-i(2pi f_{c}t;+;theta )}right];;;;;(13f)}

sL(t)=12[s+(t)⋅ei(2πfct−θ)+s−(t)⋅e−i(2πfct+θ)](13g){displaystyle s_{L}(t);=;{frac {1}{2}}left[s_{+}(t)cdot e^{i(2pi f_{c}t;-;theta )};+;s_{-}(t)cdot e^{-i(2pi f_{c}t;+;theta )}right];;;;;(13g)}

De acordo com as propriedades da transformada de Fourier, a multiplicação pelo fator e^iῳt equivale a um deslocamento na frequência igual a ῳ. Nesse contexto, a comparação com as expressões (12d) e (12e) mostram que o espectro de s_U(t) possui apenas frequências com valores de (f - f_c) positivos, ou seja, f > f_c. O inverso vale para s_L.

Demodulação |

Sinal (em azul) e seu envelope (em vermelho).

A transformada de Hilbert pode ser usada para analisar um sinal s(t) que consiste de um produto de duas funções f(t) e g(t). Em aplicações práticas, uma delas é frequentemente uma oscilação de alta frequência e a outra é um sinal que contém informação útil e que se deseja destacar para análise. Nesse contexto, a primeira função é chamada de portadora e a outra, de função moduladora ou sinal modulante. Aqui suporemos que g(t) é a portadora e f(t), o sinal modulante.

Pode-se obter f(t) a partir de s(t) através da transformada de Hilbert, por meio da expressão:

f(t)=s(t)+is^(t)(14a){displaystyle f(t);=;s(t);+;i{hat {s}}(t);;;;;(14a)}

Essa operação é chamada de demodulação. Evidentemente, constitui o inverso da modulação, que consite em obter s(t) a partir de f(t).

Em engenharia, também se usa o termo sinal analítico forte para designar uma função analítica (ou regular ou holomorfa). Tal sinal pode ser escrito na forma geral s(t) = A(t)·e^φ(t), que representa um vetor de amplitude instantânea A e direção instantânea dada pelo ângulo de fase φ, ambos variando com o tempo. Essa representação é útil em diversas aplicações práticas.^{[nota 9]} |A(t)|, que é chamado de envelope ou envoltória da modulação, é sempre positivo, o que permite a plotagem de A(t) em escala logarítmica. Evidentemente, |A(t)| = |f(t)|·|g(t)|. Muitas vezes, é desnecessário obter f(t), sendo suficiente conhecer qual é o envelope porque, como |g(t)| em geral é conhecido, fica fácil a partir dele calcular |f(t)|.

O espectro de frequências de um sinal analítico forte só contém frequências positivas. A frequência instantânea pode ser calculada como

ω=2π⋅ddtϕ(t)(14b){displaystyle omega ;=;2pi cdot {frac {d}{dt}};phi (t);;;;;(14b)}

Em casos onde uma análise mais profunda de A(t) se faz necessária, aplica-se a transformada de Fourier. Por exemplo, quando A(t) é uma função exponencial com mais de uma constante de amortecimento. Para um exemplo, ver Thrane e outros.^[14]

Fasor no domínio da frequência |

Podemos escrever o espectro de frequências de um sinal na forma polar G(ω) = A(ω)·e^φ(ω), de maneira similar ao que se fez no item anterior com a representação no domínio do tempo. Se a correspondente função de transferência no domínio da frequência complexa for dada por

F(s)=K(s−a1)(s−a2)…(s−an)(s−b1)(s−b2)…(s−bm){displaystyle F(s);=;K;{frac {(s;-;a_{1})(s;-;a_{2})ldots (s;-;a_{n})}{(s;-;b_{1})(s;-;b_{2})ldots (s;-;b_{m})}}}

onde K é uma constante, a₁, a₂ ... a_n são os zeros e b₁, b₂ ... b_m são os polos de F(s), pode-se escrevê-la também na forma

F(s)=Fa(s)⋅Fϕ(s){displaystyle F(s);=;F_{a}(s)cdot F_{phi }(s)}

onde F_a consiste da constante K e dos zeros e polos cuja parte real é negativa, e F_φ consiste dos demais. Nesse caso, cada polo de F_φ deve ser o conjugado de um dos zeros, ou seja,

Fϕ(s)=(s−c1)(s−c2)…(s−cl)(s+c1∗)(s+c2∗)…(s+cl∗){displaystyle F_{phi }(s);=;{frac {(s;-;c_{1})(s;-;c_{2})ldots (s;-;c_{l})}{(s;+;c_{1}*)(s;+;c_{2}*)ldots (s;+;c_{l}*)}}}

A amplitude de F_φ = 1, e esses polos e zeros influenciam apenas a fase de F(s). F_a é frequentemente chamada de componente de mínima fase de F(s). Pode-se demonstrar que, se escrevermos F_a(ω) na forma polar F_a(ω) = A_a(ω)·e^φ_a(ω), então

H{ϕa(ω)}=ln⁡[Aa(ω)](15){displaystyle {mathcal {H}}{phi _{a}(omega )};=;ln left[A_{a}(omega )right];;;;;(15)}

Transformada Discreta de Hilbert |

A Transformada Discreta de Hilbert (DHT, do inglês Discrete Hilbert Transform) aplica-se a funções definidas num espaço discreto como, por exemplo, o conjunto dos números inteiros. Pode-se definir essa transformação como a convolução de uma função qualquer f(t) com o núcleo de Hilbert h(t), com a única diferença de que neste caso trata-se da versão discreta do núcleo de Hilbert. A convolução, em casos práticos, será uma convolução circular, porque apenas um intervalo finito de tempo [t₀,t₁] reveste-se de interesse; a DHT, como resultado dessa convolução, será sempre uma função periódica, e o período τ será o tamanho desse intervalo: t₁ - t₀.

Relação com a Transformada Discreta de Fourier |

Podemos estender a Transformada Discreta de Hilbert partindo-se da Transformada Discreta de Fourier, que é justamente a extensão da Transformada de Fourier para espaços discretos.

Uma transformada integral num espaço discreto consiste numa sequência finita de coeficientes p₀, p₁, p₂, ... p_n-1 para os quais existe uma fórmula de cálculo bem definida. Essa sequência será chamada aqui DHT. Também deve existir uma sequência análoga para a transformada inversa. Chamaremos a essa sequência DHT^-1. n é o tamanho da amostra.

A transformação é aplicada a uma sequência de valores q₀, q₁, q₂, ... q_n-1, que chamaremos aqui de Q. Q, DHT e DFT (do inglês Discrete Hilbert Transform) precisam ter o mesmo tamanho da amostra. Além disso, como autores diferentes adotam convenções diferentes para a transformada discreta de Fourier, é preciso escolher qual delas emprega. Aqui será usada a seguinte versão:

DFT{f(k)}=G(k)=∑k=0n−1f(k)⋅e−iω/ω=2πf=2πknfk=ψ⋅fk{displaystyle DFT{f(k)};=;G(k);=;sum _{k;=;0}^{n;-;1}f(k)cdot e^{-iomega };;;;;/omega ;=;2pi f;=;2pi {frac {k}{n}}f_{k};=;psi cdot f_{k}}

onde f_k é uma frequência discreta, um inteiro no intervalo [0,n-1]. O espectro de G(k) resulta periódico, ou seja, G(k) = G(k+in), onde i é um inteiro positivo qualquer. A frequência de G(k) é frequência normalizada ψ, que se situa no intervalo [0,2π]; as componentes situadas no intervalo [0,π] são consideradas como tendo frequência positiva, e aquelas situadas no intervalo [π,2π] são consideradas componentes de frequência negativa.

A fórmula correspondente para a transformada inversa é a seguinte:

DFT−1{G(k)}=f(k)=1n∑k=0n−1G(k)⋅eiω{displaystyle DFT^{-1}{G(k)};=;f(k);=;{frac {1}{n}};sum _{k;=;0}^{n;-;1}G(k)cdot e^{iomega }}.^[9]

Cálculo dos coeficientes |

Pode-se calcular os coeficientes da DHT de uma das maneiras seguintes: a primeira através da transformada discreta de Fourier,

DHT(k)=DFT−1{H(k)⋅DFT{Q(k)}}(16a){displaystyle DHT(k);=;DFT^{-1}{H(k)cdot DFT{Q(k)}};;;;;(16a)}

e a segunda por meio da fórmula direta

DHT(k)=∑j=0n−1H−1(k−j)⋅Q(j)(16b){displaystyle DHT(k);=;sum _{j;=;0}^{n;-;1}H^{-1}(k;-;j)cdot Q(j);;;;;(16b)}

onde H é outra sequência, que corresponde ao núcleo de Hilbert em forma discreta, e H^-1, sua inversa. Para n par, H(k) é dada por

H(k)={0:ψ=0(k=0)i:0<ψ<π(0<k<n2)0:ψ=π(k=n2)−i:π<ψ<2π(n2<k<n).{displaystyle H(k);=;left{{begin{matrix}0&:&psi ;=;0;;;(k;=;0)\i&:&0;<;psi ;<;pi ;;;(0;<;k;<;{frac {n}{2}})\0&:&psi =pi ;;;(k;=;{frac {n}{2}})\-i&:&pi <psi ;<;2pi ;;;({frac {n}{2}};<;k;<;n).end{matrix}}right.}

e para n ímpar, por

H(k)={0:ψ=0(k=0)i:0<ψ≤π(0<k≤n−12)−i:π<ψ<2π(n−12<k<n).){displaystyle H(k);=;left{{begin{matrix}0&:&psi ;=;0;;;(k;=;0)\i&:&0;<;psi ;leq ;pi ;;;(0;<;k;leq ;{frac {n;-;1}{2}})\-i&:&pi <psi ;<;2pi ;;;({frac {n;-;1}{2}};<;k;<;n).end{matrix}}right.)}

Em qualquer caso, vale a fórmula concisa seguinte:

H(k)=i⋅sgn⁡(n2−k)⋅sgn⁡(k)(16c){displaystyle H(k);=;icdot operatorname {sgn} left({frac {n}{2}};-;kright)cdot operatorname {sgn} (k);;;;;(16c)}

Quanto a H^-1, valem as fórmulas seguintes:

H−1(k)={−2n⋅sin2⁡(π2k)⋅cot(πnk):npar∧k>0−1n⋅[cot(πnk)−cos⁡(πk)sin⁡(πkn)]:nimpar∧k>00:k=0.(16d){displaystyle H^{-1}(k);=;left{{begin{matrix}-;{frac {2}{n}}cdot sin ^{2}left({frac {pi }{2}};kright)cdot cotleft({frac {pi }{n}};kright)&:&n;{text{par}};land ;k;>;0\-;{frac {1}{n}}cdot left[cotleft({frac {pi }{n}};kright);-;{frac {cos(pi k)}{sin left({frac {pi k}{n}}right)}}right]&:&n;{text{impar}};land ;k;>;0\0&:&k;=;0.end{matrix}}right.;;;;(16d)}

Para a transformação inversa, usamos

DHT−1(k)=DFT{H−1(k)⋅DFT−1{DHT(k)}}(17a){displaystyle DHT^{-1}(k);=;DFT{H^{-1}(k)cdot DFT^{-1}{DHT(k)}};;;;;(17a)}

ou

DHT−1(k)=∑j=0n−1H(k−j)⋅DHT(j)(17b){displaystyle DHT^{-1}(k);=;sum _{j;=;0}^{n;-;1}H(k;-;j)cdot DHT(j);;;;;(17b)}

As expressões (16a) e (16b) são versões discretas das expressões (5) e (6b). As expressões (16b) e (17b) são convoluções discretas, isto é, convoluções num domínio discreto; nessas expressões, H(k-j) e H^-1(k-j) são matrizes n x n, pois os elementos dependem de k e de j. As expressões (16a) e (17a) são mais usadas na prática, pois DFT e DFT^-1 podem ser calculadas de forma muito eficiente através do algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (FFT).^[5][3][9]

A tabela abaixo confronta os conceitos envolvidos nas transformações de Hilbert nos domínios contínuo e discreto, para ilustrar as definições acima.

Tabela 2 - Transformada de Hilbert nos domínios contínuo e discreto

Conceito	Contínuo	Discreto
Domínio	R{displaystyle mathbb {R} }	N{displaystyle mathbb {N} }
Variável	x{displaystyle x}	k{displaystyle k}
Função original	f(x){displaystyle f(x)}	Q(k){displaystyle Q(k)}
Função transformada	u^(x){displaystyle {hat {u}}(x)}	DHT(k){displaystyle DHT(k)}
Espectro de frequências	G(ω){displaystyle G(omega )}	DFT(k){displaystyle DFT(k)}
Faixa	−∞≤x≤∞{displaystyle -infty ;leq ;x;leq ;infty }	0≤k≤n−1{displaystyle 0;leq ;k;leq ;n;-;1}
Núcleo da transformação	h(x)=−1πx{displaystyle h(x);=;-;{frac {1}{pi x}}}	H(k){displaystyle H(k)}

A amostragem deve ser feita em intervalos de tempo iguais; chamaremos aqui de t_a a esse intervalo de amostragem. A teoria exige que a frequência da amostragem seja feita com uma frequência de pelo menos o dobro da maior frequência presente no sinal de entrada. Em outras palavras, se denotarmos tal frequência por f_max, é preciso que^[5]

ta≤12fmax(18a){displaystyle t_{a};leq ;{frac {1}{2f_{max}}};;;;;(18a)}

O núcleo discreto de Hilbert |

Para um número de amostras muito grande, pode-se usar a expressão simplificada

H−1(k)={−2πn:k>00:k=0.(16e){displaystyle H^{-1}(k);=;left{{begin{matrix}-;{frac {2}{pi n}}&:&k;>;0\0&:&k;=;0.end{matrix}}right.;;;;(16e)}

que se obtém tomando o limite n → ∞ na expressão (16d). Essa aproximação não funciona bem para valores pequenos de n, porque a convergência do cálculo através da expressão (16b) não é uniforme.^[3]

Uma outra fórmula que aparece na literatura é a seguinte:

H−1(k)={−2πnsin2⁡(πn):k>00:k=0.(16f){displaystyle H^{-1}(k);=;left{{begin{matrix}-;{frac {2}{pi n}}sin ^{2}(pi n)&:&k;>;0\0&:&k;=;0.end{matrix}}right.;;;;(16f)}^[4]

que é um compromisso entre a expressão exata (16d) e a aproximação mais simples (16e).

No anexo, encontram-se exemplos de derivação de algumas DHTs.

A derivação da transformada de Hilbert por meio da FFT tem o inconveniente de produzir serrilhamento (aliasing). Isso ocorre porque a expressão (16c) é descontínua em k=0, o que implica na existência de frequências infinitas no espectro. O serrilhamento resultante é explicado teoricamente pelo Fenômeno de Gibbs. Uma outra forma de entender esse efeito é lembrar que a FFT é calculada em um intervalo finito τ, por isso exige-se que a função de entrada passe primeiro por um filtro passa-baixas de forma a eliminar as componentes de alta frequência, ou seja, as componentes com período inferior a 2τ; a aplicação de um sinal não devidamente filtrado à FFT inevitavelmente produzirá efeitos espúrios.

Uma maneira é calcular a transformada por meio de um algoritmo de filtro digital. A resposta em frequência ideal do filtro é então definida a partir da equação

H(iω)={i:0<ω<π−i:−π<ω<0.(16g){displaystyle H(iomega );=;left{{begin{matrix}i&:&0<omega <pi \-i&:&-pi <omega <0.end{matrix}}right.;;;;(16g)}

e as técnicas usuais são empregadas de forma a obter um filtro com uma resposta o mais próxima possível à ideal. Por meio desta abordagem, obtém-se uma aproximação para û(t) que apresenta ondulações moderadas em torno da descontinuidade. Tais dispositivos são conhecidos, conforme já mencionado acima, como filtros ou transformadores de Hilbert.^{[4][nota 10]}

Resposta de um filtro de Hilbert passa-alta. Comparar a resposta de um filtro real com a reposta ideal mostrada mais acima.

Resposta de um filtro de Hilbert passa-faixa, mostrando que são possíveis abordagens diferentes na implementação de um transformador de Hilbert.

Propriedades |

A DHT possui algumas propriedades idênticas às da Transformada de Hilbert contínua, em particular as seguintes:

• Relação com a transformada inversa


• Linearidade


• Convolução


• Comutatividade com relação à diferenciação


• Invariância

Em outros casos, o comportamento das duas versões da transformada é sensivelmente diferente. A DHT, como se pode perceber a partir da equação (16c), tem sempre o valor 0 para ψ = 0 (k = 0), que corresponde à componente de frequência zero de f(t)/f(k). Além disso, para n par, a componente ψ = π, que corresponde à frequência mais alta presente no espectro, também se anula. Por isso, as densidades espectrais de f(k) e de G(k), obtidas através do teorema de Parseval, não são idênticas no caso geral.^[9]

Extensões para outros espaços |

Extensão para espaços multidimensionais |

A transformada de Hilbert, definida no espaço L² por meio da equação (1a), pode ser expandida para espaços multidimensionais Lⁿ, com n > 2, da mesma forma que se faz com a transformada de Fourier. Num tal espaço, o domínio deixa de ser um espaço unidimensional e passa a ser um espaço L^n-1. A variável independente x passa a ser uma matriz de n-1 dimensões, que denotaremos por x; as "colunas" de x são os vetores x_i, com 1 ≤ i ≤ n-1.

A transformada de Hilbert de dimensão n é dada pela expressão:

Hn{f(x)}=u^(x)=1πn∫−∞∞∫−∞∞…∫−∞∞f(u)∏k=1n(uk−xk)∏k=1nduk(19a){displaystyle {mathcal {H}}_{n}{f(mathbf {x} )};=;{hat {u}}(mathbf {x} );=;{frac {1}{pi ^{n}}}int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }dots int _{-infty }^{infty }{frac {f(mathbf {u} )}{prod _{k;=;1}^{n}(u_{k};-;x_{k})}};prod _{k;=;1}^{n}du_{k};;;;;(19a)}

onde os símbolos de integrais indicam o valor principal de Cauchy de cada integração. A transformada inversa será dada por

Hn−1{u^(x)}=f(x)=(−1)nπn∫−∞∞∫−∞∞…∫−∞∞u^(u)∏k=1n(uk−xk)∏k=1nduk(20a){displaystyle {mathcal {H}}_{n}^{-1}{{hat {u}}(mathbf {x} )};=;f(mathbf {x} );=;{frac {(-1)^{n}}{pi ^{n}}}int _{-infty }^{infty }int _{-infty }^{infty }dots int _{-infty }^{infty }{frac {{hat {u}}(mathbf {u} )}{prod _{k;=;1}^{n}(u_{k};-;x_{k})}};prod _{k;=;1}^{n}du_{k};;;;;(20a)}

Vemos que a transformação será anti-simétrica para n ímpar e simétrica para n par; a transformada de Hilbert definida pela equação (1a) pode ser considerada um caso especial (n=1) da transformação n-dimensional.

Também é possível definir a transformação através da convolução (multidimensional) com o núcleo de Hilbert de dimensão n; por exemplo, para n = 3

Hn{f(x)}=u^(x)=f(x)∗∗∗h3(x)(19b){displaystyle {mathcal {H}}_{n}{f(mathbf {x} )};=;{hat {u}}(mathbf {x} );=;f(mathbf {x} );***;h_{3}(mathbf {x} );;;;;(19b)}

com h₃(x) sendo o núcleo de Hilbert de dimensão 3:

h3(x)=−1π3x1x2x3{displaystyle h_{3}(mathbf {x} );=;-{frac {1}{pi ^{3}x_{1}x_{2}x_{3}}}}

Paridade do sinal de entrada |

Uma função f(x), com x tendo n dimensões, pode ser decomposta em uma soma de 2ⁿ componentes, cada uma sendo uma função par ou uma função ímpar de uma das variáveis de entrada x_i, 1 ≤ i ≤ n. Por exemplo, para n = 3

f(x)=f(x1,x2,x3)=fppp(x1,x2,x3)+fppi(x1,x2,x3)+fpip(x1,x2,x3)+{displaystyle f(mathbf {x} );=;f(x_{1},x_{2},x_{3});=;f_{ppp}(x_{1},x_{2},x_{3});+;f_{ppi}(x_{1},x_{2},x_{3});+;f_{pip}(x_{1},x_{2},x_{3});+;}

+fpii(x1,x2,x3)+fipp(x1,x2,x3)+fipi(x1,x2,x3)+fiip(x1,x2,x3)+fiii(x1,x2,x3){displaystyle ;+;f_{pii}(x_{1},x_{2},x_{3});+;f_{ipp}(x_{1},x_{2},x_{3});+;f_{ipi}(x_{1},x_{2},x_{3});+;f_{iip}(x_{1},x_{2},x_{3});+;f_{iii}(x_{1},x_{2},x_{3})}

onde f_ppp é uma função par para as 3 variáveis, f_ppi é uma função par para as variáveis x₁ e x₂ e ímpar para a variável x₃, e assim por diante. Define-se ainda a distância D(f₁,f₂) entre duas componentes f₁ e f₂ como o número de subscritos diferentes na identificação de ambas; por exemplo, D(f_ppp,f_ppi) = 1, D(f_ppp,f_ipi) = 2, D(f_pip,f_ipi) = 3, D(f_iii,f_iii) = 0.

Relação com a transformada de Fourier multidimensional |

Se denotarmos a transformada de Fourier de dimensão n de uma função f(x) por G(ω), sendo ω uma matriz de n dimensões, vale a seguinte relação

Fn{Hn{f(x)}}=Fn{u^(x)}=(−i)n+1(∏k=1nsgn⁡(ωk))G(ω)(21a){displaystyle {mathcal {F}}_{n}{{mathcal {H}}_{n}{f(mathbf {x} )}};=;{mathcal {F}}_{n}{{hat {u}}(mathbf {x} )};=;(-i)^{n+1}left(prod _{k;=;1}^{n}operatorname {sgn}(omega _{k})right)G(mathbf {omega } );;;;;(21a)}

que é a extensão da equação (8a) para n dimensões.

Transformada Fracional de Hilbert |

A partir da transformada n-dimensional de Hilbert, pode-se definir uma transformada fracional (também chamada Transformada Parcial de Hilbert), que resulta da aplicação das expressões (19a) ou (19b) a apenas algumas dentre as n variáveis da matriz x. Por exemplo, se n=2, as duas transformadas fracionais bidimensionais de Hilbert possíveis serão dadas por

H1:2{f(x)}=u^(x)=1π∫−∞∞f(u1,x2)u1−x1du1{displaystyle {mathcal {H}}_{1:2}{f(mathbf {x} )};=;{hat {u}}(mathbf {x} );=;{frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {f(u_{1},x_{2})}{u_{1};-;x_{1}}};du_{1}}

e

H2:2{f(x)}=u^(x)=1π∫−∞∞f(u2,x1)u2−x2du2{displaystyle {mathcal {H}}_{2:2}{f(mathbf {x} )};=;{hat {u}}(mathbf {x} );=;{frac {1}{pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {f(u_{2},x_{1})}{u_{2};-;x_{2}}};du_{2}}

Essas são transformadas fracionais de primeira ordem, porque uma das variáveis foi deixada de fora da transformação. Para n=3, são possíveis 3 transformadas fracionais tridimensionais de Hilbert de primeira ordem e 3 de segunda ordem (em que duas variáveis são deixadas de fora da transformação) e assim por diante.

Funções separáveis |

Uma função f(x), de n variáveis, é dita separável se puder ser escrita como o produto de n funções, cada uma dependendo de apenas uma das variáveis. Ou seja, f(x)=f1(x1)⋅f2(x2)⋅f3(x3)…fn(xn){displaystyle f(mathbf {x} );=;f_{1}(x_{1})cdot f_{2}(x_{2})cdot f_{3}(x_{3})dots f_{n}(x_{n})}. Para esse tipo de entrada, a transformada de Hilbert exibe também separabilidade, ou seja, u^(x)=u^1(x1)⋅u^2(x2)⋅u^3(x3)…u^n(xn){displaystyle {hat {u}}(mathbf {x} );=;{hat {u}}_{1}(x_{1})cdot {hat {u}}_{2}(x_{2})cdot {hat {u}}_{3}(x_{3})dots {hat {u}}_{n}(x_{n})}. Essa propriedade também é exibida pelas transformadas fracionais de Hilbert de qualquer ordem.

Ortogonalidade |

Em geral, a equação (9b) não pode estender-se para n dimensões, ou seja, no caso geral, f(x) e û(x) não são ortogonais. A ortogonalidade, no entanto, se verifica quando f(x) (e, por conseguinte, também û(x) é separável.

Extensão do teorema de Bedrosian |

A identidade de Bedrosian, expressa pela equação (10a) pode ser estendida para n=2 pelo teorema de Starck. Seja f_Mfi a máxima frequência presente em f(x) quando apenas a variável x_i varia e a outra permanece constante, e seja f_mgi a mínima frequência presente em g(x) nas mesmas condições. Chamemos F(ω) e G(ω) as transformadas de Fourier bidimensionais de f(x) e g(x), respectivamente. Se f e g são tais que f_Mf1, f_Mf2, f_mg1 e f_mg2 são finitas, então F será nula para ω₁ > 2πf_Mf1 e ω₂ > 2πf_Mf2, e G será nula para ω₁ < 2πf_mg1 e ω₂ < 2πf_mg2. f(x) será, então, uma função que só contém frequências relativamente baixas, e g(x) será uma função que só contém frequências relativamente altas nos respectivos espectros.

Se f_Mf1 < f_mg1 e f_Mf2 < f_mg2, as funções f e g são ditas fortemente separáveis espectralmente. Neste caso, o suporte de F é disjunto do suporte de G, e pode-se escrever

H2{f(x)⋅g(x)}=f(x)⋅H2{g(x)}(21b){displaystyle {mathcal {H}}_{2}{f(mathbf {x} )cdot g(mathbf {x} )};=;f(mathbf {x} )cdot {mathcal {H}}_{2}{g(mathbf {x} )};;;;;(21b)}

A condição de f_Mf1 < f_mg1 e f_Mf2 < f_mg2 não é necessária para validade da equação (21b). Como as frequências f_Mf1, f_mg1, f_Mf2 e f_mg2 encontram-se num espaço bidimensional, os suportes de F e G podem ser disjuntos mesmo quando ela não é atendida; nesse caso, f e g são ditas disjuntas espectralmente, e a equação (21b) ainda vale.^[9]

Transformadores de Hilbert multidimensionais |

As equações (8b) e (8c), que definem o transformador de Hilbert, podem ser estendidas para n dimensões por meio das equações

An(f)=∏k=1ni⋅sgn⁡(fk)(21c){displaystyle A_{n}(mathbf {f} );=;prod _{k;=;1}^{n}icdot operatorname {sgn}(f_{k});;;;;(21c)}

ϕn(f)=π2⋅∑k=1nsgn⁡(fk)(21d){displaystyle phi _{n}(mathbf {f} );=;{frac {pi }{2}}cdot sum _{k;=;1}^{n}operatorname {sgn}(f_{k});;;;;(21d)}

História do desenvolvimento da teoria |

Em 1909, Hardy forneceu a definição da transformada e condições de sua validade. Ele acreditava na época que as fórmulas fossem desconhecidas, mas posteriormente descobriu que Hilbert já as usara pelo menos desde 1904, e então batizou a transformação como Transformada de Hilbert quando escreveu novamente sobre o assunto em 1925. O trabalho deste ano continha alguns erros, o que obrigou Hardy a reescrevê-lo em 1932. Outros trabalhos do mesmo autor nos anos entre 1909 e 1932 trouxeram novos aportes à teoria. O último artigo de Hardy sobre a transformação de Hilbert data de 1937.^[15]

Assim, Hardy (1932) é o artigo de referência para a definição original da Transformada de Hilbert.

A motivação original de Hardy era o estudo da Transformada de Fourier e sua aplicação à análise do espaço L2. Ele iniciou essas pesquisas em 1904 e as levou até 1947, investigando também as transformações de Mellin e de Laplace, além do recém-descoberto tema dos núcleos (kernels) da Transformada de Fourier.^[15]

Notas |

Referências

Ver também |

• Relações de Kramers–Kronig

Ligações externas |

• Artigo original de G. H. Hardy: Oxford Quarterly Journal of Mathematics, Volume os-3, Issue 1, Pp. 102-112