Tukukkk

Um espaço de Hausdorff (ou espaço separado) é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos têm vizinhanças disjuntas. Esta propriedade era uma dos axiomas da definição original de espaço topológico dada por Felix Hausdorff.

Exemplos |

• Qualquer espaço métrico é de Hausdorff;


• Qualquer espaço grosseiro com mais de um elemento não é de Hausdorff;


• O espaço X={0,1,2} com a topologia {Ø,{0},{2},{0,2},X} não é separado: os pontos 0 e 2 podem ser separados um do outro mas não do ponto 1.

Propriedades |

• Num espaço de Hausdorff, o limite de uma sucessão, quando existe, é único;


• Um subconjunto compacto de um espaço de Hausdorff é fechado;


• Um espaço X é de Hausdorff se e só se a diagonal Δ = {(x,x) | x ∈ X} de X × X é fechada na topologia produto;


• Qualquer espaço de Hausdorff é T₁;


• Um subconjunto de um espaço de Hausdorff é de Hausdorff;


• Um produto de espaços de Hausdorff é de Hausdorff;


• Se o espaço X tem um número finito de elementos então o espaço é Hausdorff se, e somente se, a topologia é discreta.

Relação com outros axiomas de separação |

• Uma condição mais fraca que Hausdorff é a de um Espaço T₁: ∀x,y,x≠y,∃A,B,x∈A,y∉A,x∉B,y∈B{displaystyle forall x,y,xneq y,exists A,B,xin A,ynotin A,xnotin B,yin B,}
  


• Uma condição mais forte que Hausdorff é ser um espaço de Urysohn ou Espaço T_2½, em que dois pontos distintos x e y podem ser separados por vizinhanças fechadas distintas.

Referências |

• 
  Munkres, James R. (2000), Topology, ISBN 9780131816299, Prentice Hall, Incorporated .

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e