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Somatório ou somatória ^[1] significa a soma de termos. Em matemática, um somatório é o operador matemático da soma de termos de uma sequência. Usualmente, um somatório (ou somatória) é denotado pela letra grega sigma (Σ{displaystyle Sigma }) e é definido por:

∑i=mnxi:=xm+xm+1+⋯+xn{displaystyle sum _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}+x_{m+1}+cdots +x_{n}},

onde {xk}k∈N{textstyle {x_{k}}_{kin mathbb {N} }} é uma sequência dada, i{textstyle i} é chamado de índice do somatório, m{displaystyle m} denota o índice inicial (ou limite inferior) e n{displaystyle n} o índice final (ou limite superior)^[2][3]. Por exemplo, temos:

∑i=15i=1+2+3+4+5=15{displaystyle sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15}.

Aplicações |

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular a média aritmética de n{displaystyle n} números, teremos a seguinte expressão:

X¯=1n∑i=1nxi{displaystyle {overline {X}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}},

onde {xi}i=1n{textstyle {x_{i}}_{i=1}^{n}} é um dada sequência de n{displaystyle n} números.^[3]

Algumas propriedades |

Sejam {xk}k∈N{textstyle {x_{k}}_{kin mathbb {N} }}, {yk}k∈N{textstyle {y_{k}}_{kin mathbb {N} }} sequências (por exemplo, de números reais) e α{textstyle alpha } um escalar. Então, temos:

1. ∑i=mnαxi=α∑i=mnxi{displaystyle sum _{i=m}^{n}alpha x_{i}=alpha sum _{i=m}^{n}x_{i}}^[3]

2. ∑i=mn(xi±yi)=∑i=mnxi±∑i=mnyi{displaystyle sum _{i=m}^{n}(x_{i}pm y_{i})=sum _{i=m}^{n}x_{i}pm sum _{i=m}^{n}y_{i}}^[3]

3. ∑i=mmxi=xm{displaystyle sum _{i=m}^{m}x_{i}=x_{m}}

4. ∑i=mnxi=∑i=mpxi+∑i=p+1nxi,∀m≤p≤n{displaystyle sum _{i=m}^{n}x_{i}=sum _{i=m}^{p}x_{i}+sum _{i=p+1}^{n}x_{i},quad forall mleq pleq n}^[3]

5. ∑i=mnxi=∑i=m+pn+pxi−p{displaystyle sum _{i=m}^{n}x_{i}=sum _{i=m+p}^{n+p}x_{i-p}}^[3]

6. ∑i=mn(xi+1−xi)=xn+1−xm{displaystyle sum _{i=m}^{n}(x_{i+1}-x_{i})=x_{n+1}-x_{m}}

7. ∑i=mn∑j=klxiyj=∑i=mnxi∑j=klyj{displaystyle sum _{i=m}^{n}sum _{j=k}^{l}x_{i}y_{j}=sum _{i=m}^{n}x_{i}sum _{j=k}^{l}y_{j}}

8. |∑i=mnxi|≤∑i=mn|xi|{displaystyle left|sum _{i=m}^{n}x_{i}right|leq sum _{i=m}^{n}|x_{i}|}

9. ∑n=0tx2n+∑n=0tx2n+1=∑n=02t+1xn{displaystyle sum _{n=0}^{t}x_{2n}+sum _{n=0}^{t}x_{2n+1}=sum _{n=0}^{2t+1}x_{n}}

10. ∑n=0t∑i=0z−1xz⋅n+i=∑n=0z⋅t+z−1xn{displaystyle sum _{n=0}^{t}sum _{i=0}^{z-1}x_{zcdot n+i}=sum _{n=0}^{zcdot t+z-1}x_{n}}

11. (∑k=0nak)⋅(∑k=0nbk)=∑k=02n∑i=0kaibk−i−∑k=0n−1(ak∑i=n+12n−kbi+bk∑i=n+12n−kai){displaystyle left(sum _{k=0}^{n}a_{k}right)cdot left(sum _{k=0}^{n}b_{k}right)=sum _{k=0}^{2n}sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-sum _{k=0}^{n-1}left(a_{k}sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}right)}

Nas propriedades acima, assumimos que as sequências {xk}k∈N{textstyle {x_{k}}_{kin mathbb {N} }}, {yk}k∈N{textstyle {y_{k}}_{kin mathbb {N} }} pertencem a um espaço vetorial. Particularmente, na propriedade 8., |⋅|{textstyle |cdot |} denota a norma (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da desigualdade triangular. No caso do espaço usual dos números reais, |⋅|{textstyle |cdot |} é a função valor absoluto.

Para uma sequência {xi,j}(i,j)∈N×N{textstyle {x_{i,j}}_{(i,j)in mathbb {N} times mathbb {N} }} é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:

∑i,j=1n:=∑i=1n∑j=1nxi,j{displaystyle sum _{i,j=1}^{n}:=sum _{i=1}^{n}sum _{j=1}^{n}x_{i,j}}

1. ∑k≤j≤i≤nxi,j:=∑i=kn∑j=kixi,j=∑j=kn∑i=jnxi,j{displaystyle sum _{kleq jleq ileq n}x_{i,j}:=sum _{i=k}^{n}sum _{j=k}^{i}x_{i,j}=sum _{j=k}^{n}sum _{i=j}^{n}x_{i,j}}

2. ∑i=m+kn∑j=mi−kai,j=∑j=mn−k∑i=j+knai,j{displaystyle sum _{i=m+k}^{n}sum _{j=m}^{i-k}a_{i,j}=sum _{j=m}^{n-k}sum _{i=j+k}^{n}a_{i,j}}

Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório e produtório. Dada uma sequência {xi}i∈N{textstyle {x_{i}}_{iin mathbb {N} }}, o produtório é, usualmente, denotado por:

∏i=1nxi:=x1x2x3⋯xn{displaystyle prod _{i=1}^{n}x_{i}:=x_{1}x_{2}x_{3}cdots x_{n}}

1. ∑n=stln⁡xn=ln⁡∏n=stxn{displaystyle sum _{n=s}^{t}ln x_{n}=ln prod _{n=s}^{t}x_{n}}

2. c[∑n=stxn]=∏n=stcxn,onde c>0.{displaystyle c^{left[sum _{n=s}^{t}x_{n}right]}=prod _{n=s}^{t}c^{x_{n}},{mbox{onde}}~c>0.}

Alguns somatórios de funções polinomiais |

1. ∑i=mn1=n+1−m{displaystyle sum _{i=m}^{n}1=n+1-m}


2. 
   ∑i=1ni=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2{displaystyle sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+cdots +n={frac {n(n+1)}{2}}} (Soma de uma progressão aritmética)


3. 
   ∑i=1ni2=12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+cdots +n^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} (Número piramidal quadrado)


4. 
   ∑i=1ni3=13+23+33+⋯+n3=(n(n+1)2)2{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+cdots +n^{3}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}}^[3]
   


5. 
   ∑i=1ni4=14+24+34+⋯+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1)30{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{4}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+cdots +n^{4}={frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}}^[3]
   


6. 
   ∑i=1ni5=15+25+35+⋯+n5=n2(n+1)2(2n2+2n−1)12{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{5}=1^{5}+2^{5}+3^{5}+cdots +n^{5}={frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}}^[3]
   


7. 
   ∑i=1ni6=16+26+36+⋯+n6=n(n+1)(2n+1)(3n4+6n3−3n+1)42{displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{6}=1^{6}+2^{6}+3^{6}+cdots +n^{6}={frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}}}^[3]
   


8. ∑i=0nip=(n+1)p+1p+1+∑k=1pBkp−k+1(pk)(n+1)p−k+1{displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{p}={frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+sum _{k=1}^{p}{frac {B_{k}}{p-k+1}}{p choose k}(n+1)^{p-k+1}}

Alguns somatórios de funções exponenciais |

1. 
   ∑i=mnxi=xm+xm+1+xm+2+⋯+xn=x(xn−xm−1)x−1{displaystyle sum _{i=m}^{n}x^{i}=x^{m}+x^{m+1}+x^{m+2}+cdots +x^{n}={frac {x(x^{n}-x^{m-1})}{x-1}}} (Soma dos termos de uma progressão geométrica)


2. 
   ∑i=0n−1iai=a−nan+(n−1)an+1(1−a)2{displaystyle sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}, (a≠1){displaystyle (aneq 1)}^[3]
   

Alguns somatórios de frações |

1) ∑n=1∞1n2=π26{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {{pi }^{2}}{6}}}.

Pelo Teorema de Parseval:

∑n=−∞∞|an|2=12π∫−ππx2dx,{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }|a_{n}|^{2}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }x^{2},dx,}

Onde:

an=12π∫−ππxe−inxdx=nπcos⁡(nπ)−sin⁡(nπ)πn2i=cos⁡(nπ)ni−sin⁡(nπ)πn2i=(−1)nni{displaystyle {begin{aligned}a_{n}&={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }xe^{-inx},dx\&={frac {npi cos(npi )-sin(npi )}{pi n^{2}}}i\&={frac {cos(npi )}{n}}i-{frac {sin(npi )}{pi n^{2}}}i\&={frac {(-1)^{n}}{n}}iend{aligned}}}

Para n ≠ 0, e a₀ = 0; Com isso,

|an|2={1n2,para n≠0,0,para n=0,{displaystyle |a_{n}|^{2}={begin{cases}{frac {1}{n^{2}}},&{text{para }}nneq 0,\0,&{text{para }}n=0,end{cases}}}

e

∑n=−∞∞|an|2=2∑n=1∞1n2=12π∫−ππx2dx.{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }|a_{n}|^{2}=2sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {1}{2pi }}int _{-pi }^{pi }x^{2},dx.}

Portanto:

∑n=1∞1n2=14π∫−ππx2dx=π26{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {1}{4pi }}int _{-pi }^{pi }x^{2},dx={frac {pi ^{2}}{6}}}

2) Fixando-se, por exemplo, n=2{displaystyle n=2} nas expressões abaixo:

∑p=1n1p=1+12+⋯{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p}}=1+{frac {1}{2}}+cdots }

∑p=1n1p+1=12+13{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p+1}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}}.

Para n=3{displaystyle n=3}:

∑p=1n1p=1+12+13+⋯{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p}}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots }

∑p=1n1p+1=12+13+14+⋯{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p+1}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{4}}+cdots }.

Comparando as expressões, dá para observar de um modo geral que:

∑p=1n1p+1=∑p=1n1p−1+1n+1{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p+1}}=sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p}}-1+{frac {1}{n+1}}}

Ou melhor:

∑p=1n1p−∑p=1n1p+1=1−1n+1{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p}}-sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p+1}}=1-{frac {1}{n+1}}}

Desenvolvendo-se cada um dos lados:

∑p=1n(1p−1p+1)=∑p=1n1p(p+1)=nn+1{displaystyle sum _{p=1}^{n}left({frac {1}{p}}-{frac {1}{p+1}}right)=sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p(p+1)}}={frac {n}{n+1}}}.

Logo:

∑p=1n1p(p+1)=nn+1{displaystyle color {blue}{sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p(p+1)}}={frac {n}{n+1}}}}.

Observe que, se n{displaystyle n} for um número muito grande, ou melhor, se ele tender a infinito, essa soma será 1, pois:

limn→∞nn+1=1{displaystyle lim _{nto infty }{frac {n}{n+1}}=1}.

Exemplo, calcular a soma:

11X2+12X3+13X4+14X5+15X6+⋯+12016X2017{displaystyle {frac {1}{1X2}}+{frac {1}{2X3}}+{frac {1}{3X4}}+{frac {1}{4X5}}+{frac {1}{5X6}}+cdots +{frac {1}{2016X2017}}}.

Aplicando-se a fórmula para n=2016{displaystyle n=2016}:

∑p=120161p(p+1)=20162017=0,9995042141795{displaystyle sum _{p=1}^{2016}{frac {1}{p(p+1)}}={frac {2016}{2017}}=0,9995042141795}.

Com esse procedimento também é possível encontrar muitos outros somatórios de frações, como por exemplo:

3) ∑p=1n1p2+3p+2=n2(n+2){displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p^{2}+3p+2}}={frac {n}{2(n+2)}}}

4) ∑p=1n1p(p+1)(p+2)=n2+3n4n2+12n+8{displaystyle sum _{p=1}^{n}{frac {1}{p(p+1)(p+2)}}={frac {n^{2}+3n}{4n^{2}+12n+8}}}

Perceba que nas expressões (3) e (4), quando n{displaystyle n} tender a infinito, o valor do somatório (limite) tenderá, respectivamente a 12{displaystyle {frac {1}{2}}} e 14{displaystyle {frac {1}{4}}}

5) ∑n=0∞(−1)n42n+1=π=3,1415...{displaystyle sum _{n=0}^{infty }(-1)^{n}{frac {4}{2n+1}}=pi =3,1415...}

Ver também |

• Adição


• Série


• Integral

Ligações externas |

• Somatórios - InfoEscola


• Somatórios úteis na teoria de Indução Matemática - O Monitor

Referências