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Um número natural é um número inteiro não negativo {0, 1, 2, …}.{displaystyle {0,~1,~2,~ldots }.} Em alguns contextos, número natural é definido como um número inteiro positivo, não sendo o zero considerado como um número natural {1, 2, 3, …}.{displaystyle {1,~2,~3,~ldots }.} ^[1]

O conjunto dos números naturais é, comumente, denotado pelo símbolo N.{displaystyle mathbb {N} .} O símbolo N∗{displaystyle mathbb {N} ^{*}} é usado para explicitar que o zero não está sendo incluso, i.e. N∗=N−{0}.{displaystyle mathbb {N} ^{*}=mathbb {N} -{0}.}^[2][3][4]

O uso mais comum de um número natural é a contagem ou a ordenação. Propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas na teoria dos números. Propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela combinatória.

Uma construção do conjunto dos números naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi desenvolvida por Giuseppe Peano no século XIX e costuma ser chamada de Axiomática de Peano.

Notação |

Os números naturais podem ser usados para contar (uma maçã, duas maçãs, três maçãs...).

Os matemáticos usam N{displaystyle mathbb {N} } para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição. Para declarar explicitamente que o zero foi excluído do conjunto, utiliza-se alguma notação mais específica. Exemplos:^[5]

N∗=N−{0}={x∈N|x≠0}={0}Nc{displaystyle mathbb {N} ^{*}=mathbb {N} -{0}={xin mathbb {N} |xneq 0}={0}_{mathbb {N} }^{c}}

Nota: deve-se tomar o cuidado para não confundir 0 e {0}{displaystyle {0}}, pois 0 é o número zero, ao passo que {0}{displaystyle {0}} é o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero.

A história dos números naturais |

Os números naturais tiveram suas origens nas palavras utilizadas para a contagem de objetos, começando com o número dois, e daí por diante. Uma abstração seguinte foi identificar o número um.^[6]

O avanço seguinte na abstração foi o uso de numerais para representar os números. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por exemplo, os babilônicos desenvolveram um sistema de atribuição de valor baseado essencialmente nos numerais de 1 a 10. Os egípcios antigos possuíam um sistema de numerais com hieróglifos distintos para 1, 10, e todas as potências de 10 até um milhão. Uma gravação em pedra encontrada em Karnak, datando de cerca de 1500 a.C. e atualmente no Louvre, em Paris, representa 276 como 2 centenas, 7 dezenas e 6 unidades; e uma representação similar para o número 4 622.^[3][7]

Um avanço muito posterior na abstração foi o desenvolvimento da ideia do zero como um número com seu próprio numeral.^[8] Um dígito zero tem sido utilizado como notação de posição desde cerca de 700 a.C. pelos babilônicos, porém ele nunca foi utilizado como elemento final.^[9] Os olmecas e a civilização maia utilizaram o zero como um número separado desde o século I a. C., aparentemente desenvolvido independentemente, porém seu uso não se difundiu na Mesoamérica. O conceito da forma como ele é utilizado atualmente se originou com o matemático indiano Brahmagupta em 628. Contudo, o zero foi utilizado como um número por todos os computus (calculadoras da idade média) começando com Dionysius Exiguus em 525, porém no geral nenhum numeral romano foi utilizado para escrevê-lo. Ao invés disto, a palavra latina para "nenhum", "nullae", foi empregada.

O primeiro estudo esquemático dos números como abstração (ou seja, como entidades abstratas) é comumente atribuído aos filósofos gregos Pitágoras e Arquimedes. Entretanto, estudos independentes também ocorreram por volta do mesmo período na Índia, China, e Mesoamérica.

No século XIX, uma definição do conjunto teórico dos números naturais foi desenvolvida. Com esta definição, era mais conveniente incluir o zero (correspondente ao conjunto vazio) como um número natural. Esta convenção é seguida pelos teorizadores de conjuntos, logicistas, e cientistas da computação. Outros matemáticos, principalmente os teorizadores dos números, comumente preferem seguir a tradição antiga e excluir o zero dos números naturais.

Uma construção consistente do Conjunto dos Números Naturais foi desenvolvida no século XIX por Giuseppe Peano. Essa construção, comumente chamada de Axiomas de Peano, é uma estrutura simples e elegante, servindo como um bom exemplo, de construção de conjuntos numéricos.

Propriedades algébricas |

∀a,b∈N{displaystyle forall a,bin mathbb {N} }, valem as propriedades:

	adição [3]	multiplicação
Fechamento ou Fecho:	(a+b)∈N{displaystyle (a+b)in mathbb {N} }	(a∗b)∈N{displaystyle (a*b)in mathbb {N} }
Associatividade:	a+(b+c)=(a+b)+c{displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}	a∗(b∗c)=(a∗b)∗c{displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c}
Comutatividade:	a+b=b+a{displaystyle a+b=b+a}	a∗b=b∗a{displaystyle a*b=b*a}
Existência de um Elemento neutro:	a+0=a{displaystyle a+0=a}	a∗1=a{displaystyle a*1=a}
Distributividade:	a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c){displaystyle a*(b+c)=(a*b)+(a*c)}
Nenhum divisor de zero:	a∗b=0⇒(a=0∨b=0){displaystyle a*b=0Rightarrow (a=0lor b=0)}

Referências

Ver também |

Bibliografia |

• 
  Ifrah, Georges (1997). História Universal dos Algarismos. a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. 2. [S.l.]: Nova Fronteira. ISBN 8-520-91046-7 
  

Ligações externas |

• 
  Construindo os números naturais - um método alternativo (em português)

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