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 Nota: Não confundir com Função afim, ou Função polinomial de primeiro grau.

A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas |

Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W} espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.{displaystyle K.}

Diz-se que uma função T:V→W{displaystyle T:Vrightarrow {W}} é uma transformação linear se, para quaisquer u,v∈V{displaystyle u,vin {V}} e α∈K,{displaystyle alpha in {K},}valem as relações:^[1]

• T(v+u)=T(v)+T(u);{displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}


• T(αv)=αT(v).{displaystyle T(alpha v)=alpha T(v).}

Exemplos ^[2] |

• a função T{displaystyle T} de K{displaystyle K} em K{displaystyle K} definida por T(x)=3x;{displaystyle T(x)=3x;}
  


• a função T{displaystyle T} de K2{displaystyle K^{2}} em K{displaystyle K} definida por T(x,y)=x+y;{displaystyle T(x,y)=x+y;}
  


• a função T{displaystyle T} de K2{displaystyle K^{2}} em K2{displaystyle K^{2}} definida por T(x,y)=(3x+y,2x−2y);{displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}
  


• se D{displaystyle D} for o espaço das funções deriváveis de R{displaystyle mathbb {R} } em R{displaystyle mathbb {R} } e se F{displaystyle F} for o espaço de todas as funções de R{displaystyle mathbb {R} } em R{displaystyle mathbb {R} }, então a derivação (isto é, a função de D{displaystyle D} em C{displaystyle C} que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se a∈K−{0}{displaystyle ain K-{0}} então a função T{displaystyle T} de K{displaystyle K} em K{displaystyle K} definida por T(x)=x+a{displaystyle T(x)=x+a} não é uma transformação linear.

Se T{displaystyle T} for uma função de um espaço vetorial V{displaystyle V} num espaço vetorial W,{displaystyle W,} então afirmar que T{displaystyle T} é linear equivale a afirmar que T{displaystyle T} preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}} ∈ V{displaystyle V} e dois escalares α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}} ∈ K:{displaystyle K:}

T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2){displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})}

Para qualquer aplicação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V} em W{displaystyle W} tem-se:

• 
  T(0)=0,{displaystyle T(0)=0,} pois T(0)=T(0−0)=T(0)−T(0)=0.{displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}
  


• se v{displaystyle v} ∈ V,{displaystyle V,} então T(−v)=−T(v),{displaystyle T(-v)=-T(v),} pois T(v)+T(−v)=T(v−v)=T(0)=0.{displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}
  

Função linear |

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Uma função linear

Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:

• Aditividade:

f(x+x′)=f(x)+f(x′);{displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}

• Homogeneidade:

f(ax)=af(x).{displaystyle f(ax)=af(x).}

f(ax+bx′)=a∗f(x)+b∗f(x′){displaystyle f(ax+bx')=a*f(x)+b*f(x')}

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.

Definição |

Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y=ax,{displaystyle y=ax,} em que a{displaystyle a} é um número real.

• 
  y{displaystyle y} é a variável dependente e x{displaystyle x} a variável independente;


• 
  a{displaystyle a} é o coeficiente angular

Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma y=mx+b{displaystyle y=mx+b} uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando b{displaystyle b} é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.

Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.

Sejam (V,F,⊕V,⊗V,+,×) e (W,F,⊕W,⊗W,+,×){displaystyle (V,F,oplus _{V},otimes _{V},+,times ){mbox{ e }}(W,F,oplus _{W},otimes _{W},+,times )} espaços vetoriais. Uma função f:V→W{displaystyle f:Vrightarrow W} é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:

• ∀x,y∈V (f(x⊕Vy)=f(x)⊕Wf(y)){displaystyle forall x,yin V (f(xoplus _{V}y)=f(x)oplus _{W}f(y))}


• ∀a∈F ∀v∈V (f(a⊗Vv)=a⊗Wf(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(aotimes _{V}v)=aotimes _{W}f(v))}

Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:

• ∀x,y∈V (f(x+y)=f(x)+f(y)){displaystyle forall x,yin V (f(x+y)=f(x)+f(y))}


• ∀a∈F ∀v∈V (f(a v)=a f(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(a v)=a f(v))}

Núcleo |

O núcleo de uma transformação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V} em W,{displaystyle W,} denotado por ker⁡(T),{displaystyle ker(T),} é o conjunto {v∈V|T(v)=0},{displaystyle {vin V,|,T(v)=0},} em que 0{displaystyle 0} é o vetor nulo de W.{displaystyle W.}

Exemplo: O núcleo da função T{displaystyle T} de K3{displaystyle K^{3}} em K3{displaystyle K^{3}} definida por T(x,y,z)=(2x−z,2z+y,x+y+3z/2){displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)} é:

ker⁡(T)={(x,y,z)|x=z/2=−y/4}{displaystyle ker(T)=left{(x,y,z),|,x=z/2=-y/4right}}

O conjunto ker⁡(T){displaystyle ker(T)} é um subespaço vetorial de V, pois se v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}} ∈ ker⁡(T){displaystyle ker(T)} e se α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}} ∈ K,{displaystyle K,} então T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)=0,{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=0,} ou seja, α1v1+α2v2{displaystyle alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2}} ∈ ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}

Se uma aplicação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V} em W{displaystyle W} for injectiva, então ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},} pois T(0)=0{displaystyle T(0)=0} e, portanto, pela injectividade de T,{displaystyle T,} o único vector v{displaystyle v} ∈ V{displaystyle V} tal que T(v)=0{displaystyle T(v)=0} é 0.{displaystyle 0.} Reciprocamente, se ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},} então T{displaystyle T} é injectiva, pois, dados v,w{displaystyle v,w} ∈ V:{displaystyle V:}

T(v)=T(w)⟺T(v)−T(w)=0⟺T(v−w)=0⟺v−w∈ker⁡(T)⇒v−w=0⟺v=w{displaystyle T(v)=T(w)Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0Longleftrightarrow T(v-w)=0Longleftrightarrow v-win ker(T)Rightarrow v-w=0Longleftrightarrow v=w}

Imagem |

Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W} espaços vetoriais sobre um corpo K.{displaystyle K.} A imagem de uma transformação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V} em W{displaystyle W} é o conjunto:

Im⁡(T)={f(v)|v∈V}{displaystyle operatorname {Im} (T)={f(v),|,vin V}}

Sejam w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}} dois elementos da imagem de T{displaystyle T} e sejam α1,α2∈K.{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in K.} Então, como w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}} estão na imagem de T,{displaystyle T,} há vectores v1,v2∈V{displaystyle v_{1},v_{2}in V} tais que w1=T(v1){displaystyle w_{1}=T(v_{1})} e que w2=T(v2),{displaystyle w_{2}=T(v_{2}),} pelo que:

α1w1+α2w2=α1T(v1)+α2T(v2)=T(α1v1+α2v2)∈Im⁡(T){displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})in mathop {mathrm {Im} } (T)}

Im⁡(T){displaystyle operatorname {Im} (T)}

W.{displaystyle W.}

Dimensão da imagem e do núcleo |

Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W} espaços vetoriais sobre um corpo K,{displaystyle K,} sendo V{displaystyle V} de dimensão finita, e seja T{displaystyle T} uma transformação linear de V{displaystyle V} em W.{displaystyle W.} Então

dim⁡(V)=dim⁡(ker⁡(T))+dim⁡(Im⁡(T)).{displaystyle dim(V)=dim(ker(T))+dim(operatorname {Im} (T)).}

n=dim⁡(ker⁡(T)){displaystyle n=dim(ker(T))}

{v1,v2,{displaystyle {v_{1},v_{2},}

,vn}{displaystyle ,v_{n}}}

ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}

ker⁡(T){displaystyle ker(T)}

V,{displaystyle V,}

V.{displaystyle V.}

w1,w2,{displaystyle w_{1},w_{2},}

,wm{displaystyle ,w_{m}}

V{displaystyle V}

{v1,v2,{displaystyle {v_{1},v_{2},}

,vn,w1,w2,{displaystyle ,v_{n},w_{1},w_{2},}

,wm}{displaystyle ,w_{m}}}

V;{displaystyle V;}

dim⁡(V)=n+m.{displaystyle dim(V)=n+m.}

{T(w1),{displaystyle {T(w_{1}),}

,T(wm)}{displaystyle ,T(w_{m})}}

(T),{displaystyle (T),}

dim⁡(Im⁡(T))=m=(m+n)−n=dim⁡(V)−dim⁡(ker⁡(T)).{displaystyle dim(operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=dim(V)-dim(ker(T)).}

w{displaystyle w}

(T),{displaystyle (T),}

w=T(v){displaystyle w=T(v)}

v{displaystyle v}

V{displaystyle V}

v{displaystyle v}

v=α1v1+⋯αnvn+β1w1+⋯+βmwm,{displaystyle v=alpha _{1}v_{1}+cdots alpha _{n}v_{n}+beta _{1}w_{1}+cdots +beta _{m}w_{m},}

T(v)=β1T(w1)+⋯+βmT(wm),{displaystyle T(v)=beta _{1}T(w_{1})+cdots +beta _{m}T(w_{m}),}

v1,v2,…,vn{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}}

ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}

{T(w1),…,T(wm)}{displaystyle {T(w_{1}),ldots ,T(w_{m})}}

Im⁡(T).{displaystyle operatorname {Im} (T).}

T(w1),T(w2),…,T(wm){displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),ldots ,T(w_{m})}

α1,α2,…,αm{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{m}}

K{displaystyle K}

α1T(w1)+α2T(w2)+⋯+αmT(wm)=0,{displaystyle alpha _{1}T(w_{1})+alpha _{2}T(w_{2})+cdots +alpha _{m}T(w_{m})=0,}

T(α1w1+α2w2+⋯+αmwm)=0⇒α1w1+α2w2+⋯+αmwm∈ker⁡(T),{displaystyle T{bigl (}alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}{bigr )}=0Rightarrow alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}in ker(T),}

α1w1+α2w2+…+αmwm{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+ldots +alpha _{m}w_{m}}

v1,v2,…,vn,{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},}

α1=α2=…=αm=0,{displaystyle alpha _{1}=alpha _{2}=ldots =alpha _{m}=0,}

{v1,v2,…,vn,w1,w2,…,wm}{displaystyle {v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},ldots ,w_{m}}}

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais |

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se T{displaystyle T} for um endomorfismo de um espaço vetorial V{displaystyle V} de dimensão finita, então são condições^[3] equivalentes:

1. 
   T{displaystyle T} é injetivo;


2. 
   T{displaystyle T} é sobrejetivo;


3. 
   T{displaystyle T} é bijetivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T{displaystyle T} for sobrejetivo, então

dim⁡(V)=dim⁡(Im⁡(T))=dim⁡(V)−dim⁡(ker⁡(T)),{displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))=dim(V)-dim(ker(T)),}

dim⁡(ker⁡(T))=0{displaystyle dim(ker(T))=0}

ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}

T{displaystyle T}

T{displaystyle T}

0=dim⁡(ker⁡(T))=dim⁡(V)−dim⁡(Im⁡(T)),{displaystyle 0=dim(ker(T))=dim(V)-dim(operatorname {Im} (T)),}

dim⁡(V)=dim⁡(Im⁡(T)){displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))}

V=Im⁡(T),{displaystyle V=operatorname {Im} (T),}

T{displaystyle T}

Exemplos de matrizes de transformações lineares |

Alguns casos especiais de transformações lineares^[4] do espaço R² são bastante elucidativas:

• 
  rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
  
  

  A=[0−110]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}}

  
  
  
  
  


• 
  rotação por θ{displaystyle theta } graus no sentido anti-horário:
  
  

  A=[cos⁡(θ)−sen(θ)sen(θ)cos⁡(θ)]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}cos(theta )&-mathrm {sen} ,(theta )\mathrm {sen} ,(theta )&cos(theta )end{bmatrix}}}

  
  
  
  
  


• 
  reflexão em torno do eixo x:
  
  

  A=[100−1]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}

  
  
  
  
  


• 
  reflexão em torno do eixo y:
  
  

  A=[−1001]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}-1&0\0&1end{bmatrix}}}

  
  
  
  
  


• projeção sobre o eixo y:
  
  

  A=[0001].{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}.}

  
  
  
  
  

Espaço das transformações lineares |

Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W} espaços vetoriais sobre o corpo K.{displaystyle K.} Seja L(V,W){displaystyle L(V,W)} definido como o conjunto de todas transformações lineares de V{displaystyle V} em W.{displaystyle W.} Como funções, para quaisquer operadores T{displaystyle T} e U{displaystyle U} e qualquer escalar a,{displaystyle a,} podemos definir T+U{displaystyle T+U} e aT{displaystyle aT} por:

(T+U)(v)=T(v)+U(v){displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}

(aT)(v)=aT(v){displaystyle (aT)(v)=aT(v)}

É imediato provar que T+U{displaystyle T+U} e aT{displaystyle aT} também são transformações lineares de V{displaystyle V} em W,{displaystyle W,} e que L(V,W){displaystyle L(V,W)} com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre K.{displaystyle K.}

Pelo fato de que, dadas bases de V{displaystyle V} e W,{displaystyle W,} temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão n{displaystyle n} × m,{displaystyle m,} concluímos que a dimensão de L(V,W){displaystyle L(V,W)} é nm{displaystyle nm} (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos operadores lineares |

Um caso particular importante é o espaço L(V,V),{displaystyle L(V,V),} das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear T,{displaystyle T,} podem-se definir as potências T2,T3,{displaystyle T^{2},T^{3},} ou, de modo geral, Tn,∀n∈Z+.{displaystyle T^{n},forall nin mathbb {Z^{+}} .} Portanto, se p(x){displaystyle p(x)} é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):{displaystyle p(T):}

p(x)=a0+a1x+…+anxn⟹p(T)=a0IV+a1T+…+anTn,{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n}T^{n},}

IV{displaystyle I_{V}}

V.{displaystyle V.}

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

• Se p(x){displaystyle p(x)} e q(x){displaystyle q(x)} são polinômios, então p(T)+q(T)=(p+q)(T){displaystyle p(T)+q(T)=(p+q)(T)} e p(T)q(T)=(pq)(T).{displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}
  

Se o espaço V{displaystyle V} tem dimensão finita n,{displaystyle n,} então L(V,V){displaystyle L(V,V)} também tem dimensão finita n2.{displaystyle n^{2}.} Portanto, o conjunto de n2+1{displaystyle n^{2}+1} operadores {IV,T,…,Tn2}{displaystyle {I_{V},T,ldots ,T^{n^{2}}}} é linearmente dependente. Logo, existem escalares a0,a1,…an2,{displaystyle a_{0},a_{1},ldots a_{n^{2}},} não todos nulos, tais que a0IV+a1T+…+an2Tn2=0.{displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.} Ou seja, existe um polinômio não-nulo p(x){displaystyle p(x)} tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}.

Se existe um polinômio não-nulo f(x){displaystyle f(x)} tal que f(T)=0{displaystyle f(T)=0}, então o conjunto não-vazio dos polinômio q(x){displaystyle q(x)} tais que q(T)=0{displaystyle q(T)=0} forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico p(x){displaystyle p(x)} tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de T.{displaystyle T.}

Espaço dual |

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja V{displaystyle V} um espaço vetorial sobre um corpo K.{displaystyle K.} O espaço dual de V,{displaystyle V,} representado por V∗,{displaystyle V^{*},} é o espaço vetorial L(V,K){displaystyle L(V,K)} das transformações lineares de V{displaystyle V} em K.{displaystyle K.}

Referências

Ver também |

• Função linear


• Função afim


• Função polinomial de primeiro grau

• Portal da matemática