Transformação linear









Question book.svg

 Esta página ou secção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde Dezembro de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)


Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Função afim, ou Função polinomial de primeiro grau.



A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.


Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.




Índice






  • 1 Definição e consequências imediatas


    • 1.1 Exemplos [2]




  • 2 Função linear


    • 2.1 Definição




  • 3 Núcleo


  • 4 Imagem


  • 5 Dimensão da imagem e do núcleo


  • 6 Tipos especiais


  • 7 Exemplos de matrizes de transformações lineares


  • 8 Espaço das transformações lineares


    • 8.1 Espaço dos operadores lineares




  • 9 Espaço dual


  • 10 Referências


  • 11 Ver também





Definição e consequências imediatas |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.{displaystyle K.}K.


Diz-se que uma função T:V→W{displaystyle T:Vrightarrow {W}}{displaystyle T:Vrightarrow {W}} é uma transformação linear se, para quaisquer u,v∈V{displaystyle u,vin {V}}{displaystyle u,vin {V}} e α∈K,{displaystyle alpha in {K},}{displaystyle alpha in {K},}valem as relações:[1]



  • T(v+u)=T(v)+T(u);{displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}{displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}

  • T(αv)=αT(v).{displaystyle T(alpha v)=alpha T(v).}{displaystyle T(alpha v)=alpha T(v).}



Exemplos [2] |



  • a função T{displaystyle T}T de K{displaystyle K}K em K{displaystyle K}K definida por T(x)=3x;{displaystyle T(x)=3x;}{displaystyle T(x)=3x;}

  • a função T{displaystyle T}T de K2{displaystyle K^{2}}K^2 em K{displaystyle K}K definida por T(x,y)=x+y;{displaystyle T(x,y)=x+y;}{displaystyle T(x,y)=x+y;}

  • a função T{displaystyle T}T de K2{displaystyle K^{2}}K^2 em K2{displaystyle K^{2}}K^2 definida por T(x,y)=(3x+y,2x−2y);{displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}{displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}

  • se D{displaystyle D}D for o espaço das funções deriváveis de R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R} em R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R} e se F{displaystyle F}F for o espaço de todas as funções de R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R} em R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R}, então a derivação (isto é, a função de D{displaystyle D}D em C{displaystyle C}C que envia cada função na sua derivada) é linear.


Em contrapartida, se a∈K−{0}{displaystyle ain K-{0}}{displaystyle ain K-{0}} então a função T{displaystyle T}T de K{displaystyle K}K em K{displaystyle K}K definida por T(x)=x+a{displaystyle T(x)=x+a}T(x)=x+a não é uma transformação linear.


Se T{displaystyle T}T for uma função de um espaço vetorial V{displaystyle V}V num espaço vetorial W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} então afirmar que T{displaystyle T}T é linear equivale a afirmar que T{displaystyle T}T preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}}v_1,v_2 ∈ V{displaystyle V}V e dois escalares α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}alpha_1,alpha_2 ∈ K:{displaystyle K:}{displaystyle K:}




T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2){displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})}

{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})}

Para qualquer aplicação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W{displaystyle W}W tem-se:




  • T(0)=0,{displaystyle T(0)=0,}{displaystyle T(0)=0,} pois T(0)=T(0−0)=T(0)−T(0)=0.{displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}{displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}

  • se v{displaystyle v}v ∈ V,{displaystyle V,}V, então T(−v)=−T(v),{displaystyle T(-v)=-T(v),}{displaystyle T(-v)=-T(v),} pois T(v)+T(−v)=T(v−v)=T(0)=0.{displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}{displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}



Função linear |







Question book.svg

 Esta seção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde setembro de 2011). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
—Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)



Uma função linear


Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:


  • Aditividade:



f(x+x′)=f(x)+f(x′);{displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}

{displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}


  • Homogeneidade:



f(ax)=af(x).{displaystyle f(ax)=af(x).}

{displaystyle f(ax)=af(x).}

Em suma:
f(ax+bx′)=a∗f(x)+b∗f(x′){displaystyle f(ax+bx')=a*f(x)+b*f(x')} f(ax+bx') = a*f(x)+b*f(x')

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.



Definição |


Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y=ax,{displaystyle y=ax,}y= a x, em que a{displaystyle a}a é um número real.




  • y{displaystyle y}y é a variável dependente e x{displaystyle x}x a variável independente;


  • a{displaystyle a}a é o coeficiente angular


Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma y=mx+b{displaystyle y=mx+b}y = mx + b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando b{displaystyle b}b é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.



Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.


Sejam (V,F,⊕V,⊗V,+,×) e (W,F,⊕W,⊗W,+,×){displaystyle (V,F,oplus _{V},otimes _{V},+,times ){mbox{ e }}(W,F,oplus _{W},otimes _{W},+,times )}(V, F, oplus_V, otimes_V, +, times) mbox{ e } (W, F, oplus_W, otimes_W, +, times) espaços vetoriais. Uma função f:V→W{displaystyle f:Vrightarrow W}f: V rightarrow W é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:



  • ∀x,y∈V (f(x⊕Vy)=f(x)⊕Wf(y)){displaystyle forall x,yin V (f(xoplus _{V}y)=f(x)oplus _{W}f(y))}forall x, y in V (f(x oplus_V y) = f(x) oplus_W f(y))

  • ∀a∈F ∀v∈V (f(a⊗Vv)=a⊗Wf(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(aotimes _{V}v)=aotimes _{W}f(v))}forall a in F forall v in V (f(a otimes_V v) = a otimes_W f(v))


Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:



  • ∀x,y∈V (f(x+y)=f(x)+f(y)){displaystyle forall x,yin V (f(x+y)=f(x)+f(y))}forall x, y in V (f(x + y) = f(x) + f(y))

  • ∀a∈F ∀v∈V (f(a v)=a f(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(a v)=a f(v))}forall a in F forall v in V (f(a v) = a f(v))



Núcleo |


O núcleo de uma transformação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} denotado por ker⁡(T),{displaystyle ker(T),}{displaystyle ker(T),} é o conjunto {v∈V|T(v)=0},{displaystyle {vin V,|,T(v)=0},}{displaystyle {vin V,|,T(v)=0},} em que 0{displaystyle 0}{displaystyle 0} é o vetor nulo de W.{displaystyle W.}{displaystyle W.}


Exemplo: O núcleo da função T{displaystyle T}T de K3{displaystyle K^{3}}K^3 em K3{displaystyle K^{3}}K^3 definida por T(x,y,z)=(2x−z,2z+y,x+y+3z/2){displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)}T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2) é:



ker⁡(T)={(x,y,z)|x=z/2=−y/4}{displaystyle ker(T)=left{(x,y,z),|,x=z/2=-y/4right}}

{displaystyle ker(T)=left{(x,y,z),|,x=z/2=-y/4right}}

O conjunto ker⁡(T){displaystyle ker(T)}ker(T) é um subespaço vetorial de V, pois se v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}}v_1,v_2 ∈ ker⁡(T){displaystyle ker(T)}ker(T) e se α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}alpha_1,alpha_2 ∈ K,{displaystyle K,}K, então T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)=0,{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=0,}{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=0,} ou seja, α1v1+α2v2{displaystyle alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2}}alpha_1v_1+alpha_2v_2 ∈ ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}{displaystyle ker(T).}


Se uma aplicação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W{displaystyle W}W for injectiva, então ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}{displaystyle ker(T)={0},} pois T(0)=0{displaystyle T(0)=0}T(0)=0 e, portanto, pela injectividade de T,{displaystyle T,}T, o único vector v{displaystyle v}v ∈ V{displaystyle V}V tal que T(v)=0{displaystyle T(v)=0}T(v)=0 é 0.{displaystyle 0.}0. Reciprocamente, se ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}{displaystyle ker(T)={0},} então T{displaystyle T}T é injectiva, pois, dados v,w{displaystyle v,w}v,w ∈ V:{displaystyle V:}{displaystyle V:}



T(v)=T(w)⟺T(v)−T(w)=0⟺T(v−w)=0⟺v−w∈ker⁡(T)⇒v−w=0⟺v=w{displaystyle T(v)=T(w)Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0Longleftrightarrow T(v-w)=0Longleftrightarrow v-win ker(T)Rightarrow v-w=0Longleftrightarrow v=w}

{displaystyle T(v)=T(w)Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0Longleftrightarrow T(v-w)=0Longleftrightarrow v-win ker(T)Rightarrow v-w=0Longleftrightarrow v=w}



Imagem |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre um corpo K.{displaystyle K.}K. A imagem de uma transformação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W{displaystyle W}W é o conjunto:



Im⁡(T)={f(v)|v∈V}{displaystyle operatorname {Im} (T)={f(v),|,vin V}}

{displaystyle operatorname {Im} (T)={f(v),|,vin V}}

Sejam w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}}w_1,w_2 dois elementos da imagem de T{displaystyle T}T e sejam α1,α2∈K.{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in K.}{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in K.} Então, como w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}}w_1,w_2 estão na imagem de T,{displaystyle T,}T, há vectores v1,v2∈V{displaystyle v_{1},v_{2}in V}v_1,v_2in V tais que w1=T(v1){displaystyle w_{1}=T(v_{1})}w_1=T(v_1) e que w2=T(v2),{displaystyle w_{2}=T(v_{2}),}{displaystyle w_{2}=T(v_{2}),} pelo que:



α1w1+α2w2=α1T(v1)+α2T(v2)=T(α1v1+α2v2)∈Im⁡(T){displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})in mathop {mathrm {Im} } (T)}

{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})in mathop {mathrm {Im} } (T)}

Logo, Im⁡(T){displaystyle operatorname {Im} (T)}operatorname{Im}(T) é um subespaço vetorial de W.{displaystyle W.}{displaystyle W.}


Dimensão da imagem e do núcleo |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre um corpo K,{displaystyle K,}K, sendo V{displaystyle V}V de dimensão finita, e seja T{displaystyle T}T uma transformação linear de V{displaystyle V}V em W.{displaystyle W.}{displaystyle W.} Então



dim⁡(V)=dim⁡(ker⁡(T))+dim⁡(Im⁡(T)).{displaystyle dim(V)=dim(ker(T))+dim(operatorname {Im} (T)).}

{displaystyle dim(V)=dim(ker(T))+dim(operatorname {Im} (T)).}

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n=dim⁡(ker⁡(T)){displaystyle n=dim(ker(T))}n=dim(ker(T)) e seja {v1,v2,{displaystyle {v_{1},v_{2},}{v_1,v_2, …,vn}{displaystyle ,v_{n}}},v_n} uma base de ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}{displaystyle ker(T).} Como ker⁡(T){displaystyle ker(T)}ker(T) é um subespaço de V,{displaystyle V,}V, pode-se completar essa base até obtermos uma base de V.{displaystyle V.}V. Sejam então w1,w2,{displaystyle w_{1},w_{2},}w_1,w_2,  … ,wm{displaystyle ,w_{m}},w_m ∈ V{displaystyle V}V tais que {v1,v2,{displaystyle {v_{1},v_{2},}{v_1,v_2, …,vn,w1,w2,{displaystyle ,v_{n},w_{1},w_{2},},v_n,w_1,w_2, …,wm}{displaystyle ,w_{m}}},w_m} seja uma base de V;{displaystyle V;}{displaystyle V;} em particular, dim⁡(V)=n+m.{displaystyle dim(V)=n+m.}{displaystyle dim(V)=n+m.} Vai-se provar que {T(w1),{displaystyle {T(w_{1}),}{T(w_1), …,T(wm)}{displaystyle ,T(w_{m})}},T(w_m)} é uma base de Im(T),{displaystyle (T),}{displaystyle (T),} de onde resultará que

dim⁡(Im⁡(T))=m=(m+n)−n=dim⁡(V)−dim⁡(ker⁡(T)).{displaystyle dim(operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=dim(V)-dim(ker(T)).}

{displaystyle dim(operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=dim(V)-dim(ker(T)).}

Se w{displaystyle w}w ∈ Im(T),{displaystyle (T),}{displaystyle (T),} então w=T(v){displaystyle w=T(v)}w=T(v) para algum v{displaystyle v}v ∈ V{displaystyle V}V e v{displaystyle v}v pode ser escrito sob a forma

v=α1v1+⋯αnvn+β1w1+⋯+βmwm,{displaystyle v=alpha _{1}v_{1}+cdots alpha _{n}v_{n}+beta _{1}w_{1}+cdots +beta _{m}w_{m},}

{displaystyle v=alpha _{1}v_{1}+cdots alpha _{n}v_{n}+beta _{1}w_{1}+cdots +beta _{m}w_{m},}

pelo que

T(v)=β1T(w1)+⋯+βmT(wm),{displaystyle T(v)=beta _{1}T(w_{1})+cdots +beta _{m}T(w_{m}),}

{displaystyle T(v)=beta _{1}T(w_{1})+cdots +beta _{m}T(w_{m}),}

visto que v1,v2,…,vn{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}}{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}} ∈ ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}{displaystyle ker(T).} Isto prova que {T(w1),…,T(wm)}{displaystyle {T(w_{1}),ldots ,T(w_{m})}}{displaystyle {T(w_{1}),ldots ,T(w_{m})}} gera Im⁡(T).{displaystyle operatorname {Im} (T).}{displaystyle operatorname {Im} (T).} Por outro lado, os vetores T(w1),T(w2),…,T(wm){displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),ldots ,T(w_{m})}{displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),ldots ,T(w_{m})} são linearmente independentes, pois se α1,α2,…,αm{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{m}}{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{m}} ∈ K{displaystyle K}K forem tais que

α1T(w1)+α2T(w2)+⋯+αmT(wm)=0,{displaystyle alpha _{1}T(w_{1})+alpha _{2}T(w_{2})+cdots +alpha _{m}T(w_{m})=0,}

{displaystyle alpha _{1}T(w_{1})+alpha _{2}T(w_{2})+cdots +alpha _{m}T(w_{m})=0,}

então

T(α1w1+α2w2+⋯+αmwm)=0⇒α1w1+α2w2+⋯+αmwm∈ker⁡(T),{displaystyle T{bigl (}alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}{bigr )}=0Rightarrow alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}in ker(T),}

{displaystyle T{bigl (}alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}{bigr )}=0Rightarrow alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}in ker(T),}

de onde resulta que α1w1+α2w2+…+αmwm{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+ldots +alpha _{m}w_{m}}{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+ldots +alpha _{m}w_{m}} é uma combinação linear dos vetores v1,v2,…,vn,{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},}{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},} o que é só é possível se α1=α2=…=αm=0,{displaystyle alpha _{1}=alpha _{2}=ldots =alpha _{m}=0,}{displaystyle alpha _{1}=alpha _{2}=ldots =alpha _{m}=0,} pois o conjunto {v1,v2,…,vn,w1,w2,…,wm}{displaystyle {v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},ldots ,w_{m}}}{displaystyle {v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},ldots ,w_{m}}} é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.



Tipos especiais |


Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.


Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.


Se T{displaystyle T}T for um endomorfismo de um espaço vetorial V{displaystyle V}V de dimensão finita, então são condições[3] equivalentes:




  1. T{displaystyle T}T é injetivo;


  2. T{displaystyle T}T é sobrejetivo;


  3. T{displaystyle T}T é bijetivo.


É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T{displaystyle T}T for sobrejetivo, então



dim⁡(V)=dim⁡(Im⁡(T))=dim⁡(V)−dim⁡(ker⁡(T)),{displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))=dim(V)-dim(ker(T)),}

{displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))=dim(V)-dim(ker(T)),}

pelo que dim⁡(ker⁡(T))=0{displaystyle dim(ker(T))=0}dim(ker(T))=0 e, portanto, ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}{displaystyle ker(T)={0},} pelo que T{displaystyle T}T é injetivo. Por outro lado, se T{displaystyle T}T for injetivo, então

0=dim⁡(ker⁡(T))=dim⁡(V)−dim⁡(Im⁡(T)),{displaystyle 0=dim(ker(T))=dim(V)-dim(operatorname {Im} (T)),}

{displaystyle 0=dim(ker(T))=dim(V)-dim(operatorname {Im} (T)),}

pelo que dim⁡(V)=dim⁡(Im⁡(T)){displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))}dim(V)=dim(operatorname{Im}(T)) e, portanto, V=Im⁡(T),{displaystyle V=operatorname {Im} (T),}{displaystyle V=operatorname {Im} (T),} ou seja, T{displaystyle T}T é sobrejetivo.


Exemplos de matrizes de transformações lineares |


Alguns casos especiais de transformações lineares[4] do espaço R2 são bastante elucidativas:




  • rotação de 90 graus no sentido anti-horário:

    A=[0−110]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}}



  • rotação por θ{displaystyle theta }theta graus no sentido anti-horário:

    A=[cos⁡(θ)−sen(θ)sen(θ)cos⁡(θ)]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}cos(theta )&-mathrm {sen} ,(theta )\mathrm {sen} ,(theta )&cos(theta )end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}cos(theta )&-mathrm {sen} ,(theta )\mathrm {sen} ,(theta )&cos(theta )end{bmatrix}}}



  • reflexão em torno do eixo x:

    A=[100−1]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}



  • reflexão em torno do eixo y:

    A=[−1001]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}-1&0\0&1end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}-1&0\0&1end{bmatrix}}}


  • projeção sobre o eixo y:

    A=[0001].{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}.}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}.}




Espaço das transformações lineares |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre o corpo K.{displaystyle K.}K. Seja L(V,W){displaystyle L(V,W)}L(V,W) definido como o conjunto de todas transformações lineares de V{displaystyle V}V em W.{displaystyle W.}{displaystyle W.} Como funções, para quaisquer operadores T{displaystyle T}T e U{displaystyle U}U e qualquer escalar a,{displaystyle a,}a, podemos definir T+U{displaystyle T+U}T + U e aT{displaystyle aT}aT por:



(T+U)(v)=T(v)+U(v){displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}

{displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}


(aT)(v)=aT(v){displaystyle (aT)(v)=aT(v)}

{displaystyle (aT)(v)=aT(v)}

É imediato provar que T+U{displaystyle T+U}T + U e aT{displaystyle aT}aT também são transformações lineares de V{displaystyle V}V em W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} e que L(V,W){displaystyle L(V,W)}L(V,W) com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre K.{displaystyle K.}K.


Pelo fato de que, dadas bases de V{displaystyle V}V e W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão n{displaystyle n}n × m,{displaystyle m,}m, concluímos que a dimensão de L(V,W){displaystyle L(V,W)}L(V,W) é nm{displaystyle nm}nm (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).



Espaço dos operadores lineares |


Um caso particular importante é o espaço L(V,V),{displaystyle L(V,V),}{displaystyle L(V,V),} das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).


Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.


Assim, dado um operador linear T,{displaystyle T,}T, podem-se definir as potências T2,T3,{displaystyle T^{2},T^{3},}{displaystyle T^{2},T^{3},} ou, de modo geral, Tn,∀n∈Z+.{displaystyle T^{n},forall nin mathbb {Z^{+}} .}{displaystyle T^{n},forall nin mathbb {Z^{+}} .} Portanto, se p(x){displaystyle p(x)}p(x) é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):{displaystyle p(T):}{displaystyle p(T):}



p(x)=a0+a1x+…+anxn⟹p(T)=a0IV+a1T+…+anTn,{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n}T^{n},}

{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n}T^{n},}

em que IV{displaystyle I_{V}}{displaystyle I_{V}} é o operador identidade em V.{displaystyle V.}V.

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:


  • Se p(x){displaystyle p(x)}p(x) e q(x){displaystyle q(x)}q(x) são polinômios, então p(T)+q(T)=(p+q)(T){displaystyle p(T)+q(T)=(p+q)(T)}p(T) + q(T) = (p + q)(T) e p(T)q(T)=(pq)(T).{displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}{displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}

Se o espaço V{displaystyle V}V tem dimensão finita n,{displaystyle n,}n, então L(V,V){displaystyle L(V,V)}L(V,V) também tem dimensão finita n2.{displaystyle n^{2}.}n^2. Portanto, o conjunto de n2+1{displaystyle n^{2}+1}n^2+1 operadores {IV,T,…,Tn2}{displaystyle {I_{V},T,ldots ,T^{n^{2}}}}{I_V, T, ldots, T^{n^2} } é linearmente dependente. Logo, existem escalares a0,a1,…an2,{displaystyle a_{0},a_{1},ldots a_{n^{2}},}{displaystyle a_{0},a_{1},ldots a_{n^{2}},} não todos nulos, tais que a0IV+a1T+…+an2Tn2=0.{displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.}{displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.} Ou seja, existe um polinômio não-nulo p(x){displaystyle p(x)}p(x) tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}{displaystyle p(T)=0}.


Se existe um polinômio não-nulo f(x){displaystyle f(x)}f(x) tal que f(T)=0{displaystyle f(T)=0}{displaystyle f(T)=0}, então o conjunto não-vazio dos polinômio q(x){displaystyle q(x)}q(x) tais que q(T)=0{displaystyle q(T)=0}{displaystyle q(T)=0} forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico p(x){displaystyle p(x)}p(x) tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}{displaystyle p(T)=0}. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de T.{displaystyle T.}{displaystyle T.}



Espaço dual |



Ver artigo principal: Espaço dual

Seja V{displaystyle V}V um espaço vetorial sobre um corpo K.{displaystyle K.}K. O espaço dual de V,{displaystyle V,}V, representado por V∗,{displaystyle V^{*},}{displaystyle V^{*},} é o espaço vetorial L(V,K){displaystyle L(V,K)}L(V,K) das transformações lineares de V{displaystyle V}V em K.{displaystyle K.}K.



Referências




  1. ↑ Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207 


  2. ↑ «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 


  3. ↑ «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 


  4. ↑ «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 



Ver também |



  • Função linear

  • Função afim

  • Função polinomial de primeiro grau





















v • e
Tópicos relacionados com álgebra linear
Conceitos básicos

  • Escalar

  • Vetor

  • Espaço vetorial

  • Projeção de um vetor

  • Espaço vetorial gerado

  • Transformação linear

  • Projeção

  • Independência linear

  • Combinação linear

  • Base

  • Espaço coluna

  • Espaço linha

  • Espaço dual

  • Ortogonalidade

  • Núcleo

  • Valor próprio

  • Método dos mínimos quadrados

  • Produto diádico

  • Espaço com produto interno

  • Produto escalar

  • Transposição

  • Processo de Gram-Schmidt

  • Sistema de equações lineares
Matrizes

  • Matriz

  • Produto de matrizes

  • Decomposição LU

  • Menor

  • Posto matricial

  • Regra de Cramer

  • Matriz inversa

  • Eliminação de Gauss

  • Matriz de transformação

  • Matriz em bloco

  • Matriz unimodular
Álgebra linear numérica

  • Vírgula flutuante

  • Estabilidade numérica

  • BLAS

  • Matriz esparsa

  • Comparação de bibliotecas de álgebra linear

  • Comparação de softwares de análise numérica


  • Portal da matemática



-

Popular posts from this blog

404 Error Contact Form 7 ajax form submitting

Image
0 The contact form does not work, and affects loading after one try. The chrome console shows the error message: POST http://example.com/wp-json/contact-form-7/v1/contact-forms/50/feedback 404 (Not Found) send @ jquery.js?ver=1.12.4:4 ajax @ jquery.js?ver=1.12.4:4 wpcf7.submit @ scripts.js?ver=5.0.3:346 (anonymous) @ scripts.js?ver=5.0.3:53 dispatch @ jquery.js?ver=1.12.4:3 r.handle @ jquery.js?ver=1.12.4:3 How to solve this issue? thanks in advance javascript wordpress contact-form-7 share | improve this question edited Jul 17 '18 at 5:39 Kiran Shahi 4,745 3 16 43 ...
Read more

How to know if a Active Directory user can login interactively

Image
1 I would like to know if and how is it possible to know if a AD user can login interactively (on a server) in a domain. I need to know if I can find it out using a LDAP search. Thanks. windows active-directory login user-permissions user-profile share | improve this question edited 1 hour ago yagmoth555 ♦ 11.6k 3 17 42 asked 1 hour ago Luigi Luigi 6 1 New contributor ...
Read more

Refactoring coordinates for Minecraft Pi buildings written in Python

Image
0 $begingroup$ I'm fairly new to coding and I wrote this script in Python for a house with a roof in Minecraft Pi. I've found different ways to write the coordinates to make the code base shorter, but I'm wondering if it is possible for me to refactor it any further so I don't have to list each coordinate line by line. import mcpi.minecraft as minecraft import mcpi.block as block mc = minecraft.Minecraft.create() p = mc.player.getTilePos() mc.setBlocks(p.x+1, p.y, p.z+1, #Main structure starting coordinates (DO NOT ALTER) p.x+19, p.y+4, p.z+6, #Structure size/coordinates (Alters cube size) block.STONE_BRICK) mc.setBlocks(p.x+2, p.y+1, p.z+2, #Hollowing out main structure interior p.x+18, p.y+3, p.z+5, block.AIR) mc.setBlocks(p.x, p.y...
Read more