Transformação linear









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Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Função afim, ou Função polinomial de primeiro grau.



A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.


Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.




Índice






  • 1 Definição e consequências imediatas


    • 1.1 Exemplos [2]




  • 2 Função linear


    • 2.1 Definição




  • 3 Núcleo


  • 4 Imagem


  • 5 Dimensão da imagem e do núcleo


  • 6 Tipos especiais


  • 7 Exemplos de matrizes de transformações lineares


  • 8 Espaço das transformações lineares


    • 8.1 Espaço dos operadores lineares




  • 9 Espaço dual


  • 10 Referências


  • 11 Ver também





Definição e consequências imediatas |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.{displaystyle K.}K.


Diz-se que uma função T:V→W{displaystyle T:Vrightarrow {W}}{displaystyle T:Vrightarrow {W}} é uma transformação linear se, para quaisquer u,v∈V{displaystyle u,vin {V}}{displaystyle u,vin {V}} e α∈K,{displaystyle alpha in {K},}{displaystyle alpha in {K},}valem as relações:[1]



  • T(v+u)=T(v)+T(u);{displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}{displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}

  • T(αv)=αT(v).{displaystyle T(alpha v)=alpha T(v).}{displaystyle T(alpha v)=alpha T(v).}



Exemplos [2] |



  • a função T{displaystyle T}T de K{displaystyle K}K em K{displaystyle K}K definida por T(x)=3x;{displaystyle T(x)=3x;}{displaystyle T(x)=3x;}

  • a função T{displaystyle T}T de K2{displaystyle K^{2}}K^2 em K{displaystyle K}K definida por T(x,y)=x+y;{displaystyle T(x,y)=x+y;}{displaystyle T(x,y)=x+y;}

  • a função T{displaystyle T}T de K2{displaystyle K^{2}}K^2 em K2{displaystyle K^{2}}K^2 definida por T(x,y)=(3x+y,2x−2y);{displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}{displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}

  • se D{displaystyle D}D for o espaço das funções deriváveis de R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R} em R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R} e se F{displaystyle F}F for o espaço de todas as funções de R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R} em R{displaystyle mathbb {R} }mathbb{R}, então a derivação (isto é, a função de D{displaystyle D}D em C{displaystyle C}C que envia cada função na sua derivada) é linear.


Em contrapartida, se a∈K−{0}{displaystyle ain K-{0}}{displaystyle ain K-{0}} então a função T{displaystyle T}T de K{displaystyle K}K em K{displaystyle K}K definida por T(x)=x+a{displaystyle T(x)=x+a}T(x)=x+a não é uma transformação linear.


Se T{displaystyle T}T for uma função de um espaço vetorial V{displaystyle V}V num espaço vetorial W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} então afirmar que T{displaystyle T}T é linear equivale a afirmar que T{displaystyle T}T preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}}v_1,v_2 ∈ V{displaystyle V}V e dois escalares α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}alpha_1,alpha_2 ∈ K:{displaystyle K:}{displaystyle K:}




T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2){displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})}

{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})}

Para qualquer aplicação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W{displaystyle W}W tem-se:




  • T(0)=0,{displaystyle T(0)=0,}{displaystyle T(0)=0,} pois T(0)=T(0−0)=T(0)−T(0)=0.{displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}{displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}

  • se v{displaystyle v}v ∈ V,{displaystyle V,}V, então T(−v)=−T(v),{displaystyle T(-v)=-T(v),}{displaystyle T(-v)=-T(v),} pois T(v)+T(−v)=T(v−v)=T(0)=0.{displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}{displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}



Função linear |







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Uma função linear


Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:


  • Aditividade:



f(x+x′)=f(x)+f(x′);{displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}

{displaystyle f(x+x')=f(x)+f(x');}


  • Homogeneidade:



f(ax)=af(x).{displaystyle f(ax)=af(x).}

{displaystyle f(ax)=af(x).}

Em suma:
f(ax+bx′)=a∗f(x)+b∗f(x′){displaystyle f(ax+bx')=a*f(x)+b*f(x')} f(ax+bx') = a*f(x)+b*f(x')

As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.



Definição |


Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y=ax,{displaystyle y=ax,}y= a x, em que a{displaystyle a}a é um número real.




  • y{displaystyle y}y é a variável dependente e x{displaystyle x}x a variável independente;


  • a{displaystyle a}a é o coeficiente angular


Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma y=mx+b{displaystyle y=mx+b}y = mx + b uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando b{displaystyle b}b é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.



Ver artigo principal: Aplicação linear

A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.


Sejam (V,F,⊕V,⊗V,+,×) e (W,F,⊕W,⊗W,+,×){displaystyle (V,F,oplus _{V},otimes _{V},+,times ){mbox{ e }}(W,F,oplus _{W},otimes _{W},+,times )}(V, F, oplus_V, otimes_V, +, times) mbox{ e } (W, F, oplus_W, otimes_W, +, times) espaços vetoriais. Uma função f:V→W{displaystyle f:Vrightarrow W}f: V rightarrow W é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:



  • ∀x,y∈V (f(x⊕Vy)=f(x)⊕Wf(y)){displaystyle forall x,yin V (f(xoplus _{V}y)=f(x)oplus _{W}f(y))}forall x, y in V (f(x oplus_V y) = f(x) oplus_W f(y))

  • ∀a∈F ∀v∈V (f(a⊗Vv)=a⊗Wf(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(aotimes _{V}v)=aotimes _{W}f(v))}forall a in F forall v in V (f(a otimes_V v) = a otimes_W f(v))


Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:



  • ∀x,y∈V (f(x+y)=f(x)+f(y)){displaystyle forall x,yin V (f(x+y)=f(x)+f(y))}forall x, y in V (f(x + y) = f(x) + f(y))

  • ∀a∈F ∀v∈V (f(a v)=a f(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(a v)=a f(v))}forall a in F forall v in V (f(a v) = a f(v))



Núcleo |


O núcleo de uma transformação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} denotado por ker⁡(T),{displaystyle ker(T),}{displaystyle ker(T),} é o conjunto {v∈V|T(v)=0},{displaystyle {vin V,|,T(v)=0},}{displaystyle {vin V,|,T(v)=0},} em que 0{displaystyle 0}{displaystyle 0} é o vetor nulo de W.{displaystyle W.}{displaystyle W.}


Exemplo: O núcleo da função T{displaystyle T}T de K3{displaystyle K^{3}}K^3 em K3{displaystyle K^{3}}K^3 definida por T(x,y,z)=(2x−z,2z+y,x+y+3z/2){displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)}T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2) é:



ker⁡(T)={(x,y,z)|x=z/2=−y/4}{displaystyle ker(T)=left{(x,y,z),|,x=z/2=-y/4right}}

{displaystyle ker(T)=left{(x,y,z),|,x=z/2=-y/4right}}

O conjunto ker⁡(T){displaystyle ker(T)}ker(T) é um subespaço vetorial de V, pois se v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}}v_1,v_2 ∈ ker⁡(T){displaystyle ker(T)}ker(T) e se α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}alpha_1,alpha_2 ∈ K,{displaystyle K,}K, então T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)=0,{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=0,}{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=0,} ou seja, α1v1+α2v2{displaystyle alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2}}alpha_1v_1+alpha_2v_2 ∈ ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}{displaystyle ker(T).}


Se uma aplicação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W{displaystyle W}W for injectiva, então ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}{displaystyle ker(T)={0},} pois T(0)=0{displaystyle T(0)=0}T(0)=0 e, portanto, pela injectividade de T,{displaystyle T,}T, o único vector v{displaystyle v}v ∈ V{displaystyle V}V tal que T(v)=0{displaystyle T(v)=0}T(v)=0 é 0.{displaystyle 0.}0. Reciprocamente, se ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}{displaystyle ker(T)={0},} então T{displaystyle T}T é injectiva, pois, dados v,w{displaystyle v,w}v,w ∈ V:{displaystyle V:}{displaystyle V:}



T(v)=T(w)⟺T(v)−T(w)=0⟺T(v−w)=0⟺v−w∈ker⁡(T)⇒v−w=0⟺v=w{displaystyle T(v)=T(w)Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0Longleftrightarrow T(v-w)=0Longleftrightarrow v-win ker(T)Rightarrow v-w=0Longleftrightarrow v=w}

{displaystyle T(v)=T(w)Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0Longleftrightarrow T(v-w)=0Longleftrightarrow v-win ker(T)Rightarrow v-w=0Longleftrightarrow v=w}



Imagem |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre um corpo K.{displaystyle K.}K. A imagem de uma transformação linear T{displaystyle T}T de V{displaystyle V}V em W{displaystyle W}W é o conjunto:



Im⁡(T)={f(v)|v∈V}{displaystyle operatorname {Im} (T)={f(v),|,vin V}}

{displaystyle operatorname {Im} (T)={f(v),|,vin V}}

Sejam w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}}w_1,w_2 dois elementos da imagem de T{displaystyle T}T e sejam α1,α2∈K.{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in K.}{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in K.} Então, como w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}}w_1,w_2 estão na imagem de T,{displaystyle T,}T, há vectores v1,v2∈V{displaystyle v_{1},v_{2}in V}v_1,v_2in V tais que w1=T(v1){displaystyle w_{1}=T(v_{1})}w_1=T(v_1) e que w2=T(v2),{displaystyle w_{2}=T(v_{2}),}{displaystyle w_{2}=T(v_{2}),} pelo que:



α1w1+α2w2=α1T(v1)+α2T(v2)=T(α1v1+α2v2)∈Im⁡(T){displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})in mathop {mathrm {Im} } (T)}

{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})in mathop {mathrm {Im} } (T)}

Logo, Im⁡(T){displaystyle operatorname {Im} (T)}operatorname{Im}(T) é um subespaço vetorial de W.{displaystyle W.}{displaystyle W.}


Dimensão da imagem e do núcleo |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre um corpo K,{displaystyle K,}K, sendo V{displaystyle V}V de dimensão finita, e seja T{displaystyle T}T uma transformação linear de V{displaystyle V}V em W.{displaystyle W.}{displaystyle W.} Então



dim⁡(V)=dim⁡(ker⁡(T))+dim⁡(Im⁡(T)).{displaystyle dim(V)=dim(ker(T))+dim(operatorname {Im} (T)).}

{displaystyle dim(V)=dim(ker(T))+dim(operatorname {Im} (T)).}

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n=dim⁡(ker⁡(T)){displaystyle n=dim(ker(T))}n=dim(ker(T)) e seja {v1,v2,{displaystyle {v_{1},v_{2},}{v_1,v_2, …,vn}{displaystyle ,v_{n}}},v_n} uma base de ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}{displaystyle ker(T).} Como ker⁡(T){displaystyle ker(T)}ker(T) é um subespaço de V,{displaystyle V,}V, pode-se completar essa base até obtermos uma base de V.{displaystyle V.}V. Sejam então w1,w2,{displaystyle w_{1},w_{2},}w_1,w_2,  … ,wm{displaystyle ,w_{m}},w_m ∈ V{displaystyle V}V tais que {v1,v2,{displaystyle {v_{1},v_{2},}{v_1,v_2, …,vn,w1,w2,{displaystyle ,v_{n},w_{1},w_{2},},v_n,w_1,w_2, …,wm}{displaystyle ,w_{m}}},w_m} seja uma base de V;{displaystyle V;}{displaystyle V;} em particular, dim⁡(V)=n+m.{displaystyle dim(V)=n+m.}{displaystyle dim(V)=n+m.} Vai-se provar que {T(w1),{displaystyle {T(w_{1}),}{T(w_1), …,T(wm)}{displaystyle ,T(w_{m})}},T(w_m)} é uma base de Im(T),{displaystyle (T),}{displaystyle (T),} de onde resultará que

dim⁡(Im⁡(T))=m=(m+n)−n=dim⁡(V)−dim⁡(ker⁡(T)).{displaystyle dim(operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=dim(V)-dim(ker(T)).}

{displaystyle dim(operatorname {Im} (T))=m=(m+n)-n=dim(V)-dim(ker(T)).}

Se w{displaystyle w}w ∈ Im(T),{displaystyle (T),}{displaystyle (T),} então w=T(v){displaystyle w=T(v)}w=T(v) para algum v{displaystyle v}v ∈ V{displaystyle V}V e v{displaystyle v}v pode ser escrito sob a forma

v=α1v1+⋯αnvn+β1w1+⋯+βmwm,{displaystyle v=alpha _{1}v_{1}+cdots alpha _{n}v_{n}+beta _{1}w_{1}+cdots +beta _{m}w_{m},}

{displaystyle v=alpha _{1}v_{1}+cdots alpha _{n}v_{n}+beta _{1}w_{1}+cdots +beta _{m}w_{m},}

pelo que

T(v)=β1T(w1)+⋯+βmT(wm),{displaystyle T(v)=beta _{1}T(w_{1})+cdots +beta _{m}T(w_{m}),}

{displaystyle T(v)=beta _{1}T(w_{1})+cdots +beta _{m}T(w_{m}),}

visto que v1,v2,…,vn{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}}{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}} ∈ ker⁡(T).{displaystyle ker(T).}{displaystyle ker(T).} Isto prova que {T(w1),…,T(wm)}{displaystyle {T(w_{1}),ldots ,T(w_{m})}}{displaystyle {T(w_{1}),ldots ,T(w_{m})}} gera Im⁡(T).{displaystyle operatorname {Im} (T).}{displaystyle operatorname {Im} (T).} Por outro lado, os vetores T(w1),T(w2),…,T(wm){displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),ldots ,T(w_{m})}{displaystyle T(w_{1}),T(w_{2}),ldots ,T(w_{m})} são linearmente independentes, pois se α1,α2,…,αm{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{m}}{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{m}} ∈ K{displaystyle K}K forem tais que

α1T(w1)+α2T(w2)+⋯+αmT(wm)=0,{displaystyle alpha _{1}T(w_{1})+alpha _{2}T(w_{2})+cdots +alpha _{m}T(w_{m})=0,}

{displaystyle alpha _{1}T(w_{1})+alpha _{2}T(w_{2})+cdots +alpha _{m}T(w_{m})=0,}

então

T(α1w1+α2w2+⋯+αmwm)=0⇒α1w1+α2w2+⋯+αmwm∈ker⁡(T),{displaystyle T{bigl (}alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}{bigr )}=0Rightarrow alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}in ker(T),}

{displaystyle T{bigl (}alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}{bigr )}=0Rightarrow alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+cdots +alpha _{m}w_{m}in ker(T),}

de onde resulta que α1w1+α2w2+…+αmwm{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+ldots +alpha _{m}w_{m}}{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+ldots +alpha _{m}w_{m}} é uma combinação linear dos vetores v1,v2,…,vn,{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},}{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},} o que é só é possível se α1=α2=…=αm=0,{displaystyle alpha _{1}=alpha _{2}=ldots =alpha _{m}=0,}{displaystyle alpha _{1}=alpha _{2}=ldots =alpha _{m}=0,} pois o conjunto {v1,v2,…,vn,w1,w2,…,wm}{displaystyle {v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},ldots ,w_{m}}}{displaystyle {v_{1},v_{2},ldots ,v_{n},w_{1},w_{2},ldots ,w_{m}}} é uma base e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.



Tipos especiais |


Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.


Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.


Se T{displaystyle T}T for um endomorfismo de um espaço vetorial V{displaystyle V}V de dimensão finita, então são condições[3] equivalentes:




  1. T{displaystyle T}T é injetivo;


  2. T{displaystyle T}T é sobrejetivo;


  3. T{displaystyle T}T é bijetivo.


É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T{displaystyle T}T for sobrejetivo, então



dim⁡(V)=dim⁡(Im⁡(T))=dim⁡(V)−dim⁡(ker⁡(T)),{displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))=dim(V)-dim(ker(T)),}

{displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))=dim(V)-dim(ker(T)),}

pelo que dim⁡(ker⁡(T))=0{displaystyle dim(ker(T))=0}dim(ker(T))=0 e, portanto, ker⁡(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}{displaystyle ker(T)={0},} pelo que T{displaystyle T}T é injetivo. Por outro lado, se T{displaystyle T}T for injetivo, então

0=dim⁡(ker⁡(T))=dim⁡(V)−dim⁡(Im⁡(T)),{displaystyle 0=dim(ker(T))=dim(V)-dim(operatorname {Im} (T)),}

{displaystyle 0=dim(ker(T))=dim(V)-dim(operatorname {Im} (T)),}

pelo que dim⁡(V)=dim⁡(Im⁡(T)){displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))}dim(V)=dim(operatorname{Im}(T)) e, portanto, V=Im⁡(T),{displaystyle V=operatorname {Im} (T),}{displaystyle V=operatorname {Im} (T),} ou seja, T{displaystyle T}T é sobrejetivo.


Exemplos de matrizes de transformações lineares |


Alguns casos especiais de transformações lineares[4] do espaço R2 são bastante elucidativas:




  • rotação de 90 graus no sentido anti-horário:

    A=[0−110]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}}



  • rotação por θ{displaystyle theta }theta graus no sentido anti-horário:

    A=[cos⁡(θ)−sen(θ)sen(θ)cos⁡(θ)]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}cos(theta )&-mathrm {sen} ,(theta )\mathrm {sen} ,(theta )&cos(theta )end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}cos(theta )&-mathrm {sen} ,(theta )\mathrm {sen} ,(theta )&cos(theta )end{bmatrix}}}



  • reflexão em torno do eixo x:

    A=[100−1]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}



  • reflexão em torno do eixo y:

    A=[−1001]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}-1&0\0&1end{bmatrix}}}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}-1&0\0&1end{bmatrix}}}


  • projeção sobre o eixo y:

    A=[0001].{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}.}

    {displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}.}




Espaço das transformações lineares |


Sejam V{displaystyle V}V e W{displaystyle W}W espaços vetoriais sobre o corpo K.{displaystyle K.}K. Seja L(V,W){displaystyle L(V,W)}L(V,W) definido como o conjunto de todas transformações lineares de V{displaystyle V}V em W.{displaystyle W.}{displaystyle W.} Como funções, para quaisquer operadores T{displaystyle T}T e U{displaystyle U}U e qualquer escalar a,{displaystyle a,}a, podemos definir T+U{displaystyle T+U}T + U e aT{displaystyle aT}aT por:



(T+U)(v)=T(v)+U(v){displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}

{displaystyle (T+U)(v)=T(v)+U(v)}


(aT)(v)=aT(v){displaystyle (aT)(v)=aT(v)}

{displaystyle (aT)(v)=aT(v)}

É imediato provar que T+U{displaystyle T+U}T + U e aT{displaystyle aT}aT também são transformações lineares de V{displaystyle V}V em W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} e que L(V,W){displaystyle L(V,W)}L(V,W) com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre K.{displaystyle K.}K.


Pelo fato de que, dadas bases de V{displaystyle V}V e W,{displaystyle W,}{displaystyle W,} temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão n{displaystyle n}n × m,{displaystyle m,}m, concluímos que a dimensão de L(V,W){displaystyle L(V,W)}L(V,W) é nm{displaystyle nm}nm (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).



Espaço dos operadores lineares |


Um caso particular importante é o espaço L(V,V),{displaystyle L(V,V),}{displaystyle L(V,V),} das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).


Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.


Assim, dado um operador linear T,{displaystyle T,}T, podem-se definir as potências T2,T3,{displaystyle T^{2},T^{3},}{displaystyle T^{2},T^{3},} ou, de modo geral, Tn,∀n∈Z+.{displaystyle T^{n},forall nin mathbb {Z^{+}} .}{displaystyle T^{n},forall nin mathbb {Z^{+}} .} Portanto, se p(x){displaystyle p(x)}p(x) é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):{displaystyle p(T):}{displaystyle p(T):}



p(x)=a0+a1x+…+anxn⟹p(T)=a0IV+a1T+…+anTn,{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n}T^{n},}

{displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+ldots +a_{n}x^{n}implies p(T)=a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n}T^{n},}

em que IV{displaystyle I_{V}}{displaystyle I_{V}} é o operador identidade em V.{displaystyle V.}V.

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:


  • Se p(x){displaystyle p(x)}p(x) e q(x){displaystyle q(x)}q(x) são polinômios, então p(T)+q(T)=(p+q)(T){displaystyle p(T)+q(T)=(p+q)(T)}p(T) + q(T) = (p + q)(T) e p(T)q(T)=(pq)(T).{displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}{displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}

Se o espaço V{displaystyle V}V tem dimensão finita n,{displaystyle n,}n, então L(V,V){displaystyle L(V,V)}L(V,V) também tem dimensão finita n2.{displaystyle n^{2}.}n^2. Portanto, o conjunto de n2+1{displaystyle n^{2}+1}n^2+1 operadores {IV,T,…,Tn2}{displaystyle {I_{V},T,ldots ,T^{n^{2}}}}{I_V, T, ldots, T^{n^2} } é linearmente dependente. Logo, existem escalares a0,a1,…an2,{displaystyle a_{0},a_{1},ldots a_{n^{2}},}{displaystyle a_{0},a_{1},ldots a_{n^{2}},} não todos nulos, tais que a0IV+a1T+…+an2Tn2=0.{displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.}{displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.} Ou seja, existe um polinômio não-nulo p(x){displaystyle p(x)}p(x) tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}{displaystyle p(T)=0}.


Se existe um polinômio não-nulo f(x){displaystyle f(x)}f(x) tal que f(T)=0{displaystyle f(T)=0}{displaystyle f(T)=0}, então o conjunto não-vazio dos polinômio q(x){displaystyle q(x)}q(x) tais que q(T)=0{displaystyle q(T)=0}{displaystyle q(T)=0} forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico p(x){displaystyle p(x)}p(x) tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}{displaystyle p(T)=0}. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de T.{displaystyle T.}{displaystyle T.}



Espaço dual |



Ver artigo principal: Espaço dual

Seja V{displaystyle V}V um espaço vetorial sobre um corpo K.{displaystyle K.}K. O espaço dual de V,{displaystyle V,}V, representado por V∗,{displaystyle V^{*},}{displaystyle V^{*},} é o espaço vetorial L(V,K){displaystyle L(V,K)}L(V,K) das transformações lineares de V{displaystyle V}V em K.{displaystyle K.}K.



Referências




  1. ↑ Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207 


  2. ↑ «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 


  3. ↑ «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 


  4. ↑ «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018 



Ver também |



  • Função linear

  • Função afim

  • Função polinomial de primeiro grau





















v • e
Tópicos relacionados com álgebra linear
Conceitos básicos

  • Escalar

  • Vetor

  • Espaço vetorial

  • Projeção de um vetor

  • Espaço vetorial gerado

  • Transformação linear

  • Projeção

  • Independência linear

  • Combinação linear

  • Base

  • Espaço coluna

  • Espaço linha

  • Espaço dual

  • Ortogonalidade

  • Núcleo

  • Valor próprio

  • Método dos mínimos quadrados

  • Produto diádico

  • Espaço com produto interno

  • Produto escalar

  • Transposição

  • Processo de Gram-Schmidt

  • Sistema de equações lineares
Matrizes

  • Matriz

  • Produto de matrizes

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  • Menor

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  • Vírgula flutuante

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