Transformação linear
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A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.
Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.
Índice
1 Definição e consequências imediatas
1.1 Exemplos [2]
2 Função linear
2.1 Definição
3 Núcleo
4 Imagem
5 Dimensão da imagem e do núcleo
6 Tipos especiais
7 Exemplos de matrizes de transformações lineares
8 Espaço das transformações lineares
8.1 Espaço dos operadores lineares
9 Espaço dual
10 Referências
11 Ver também
Definição e consequências imediatas |
Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W}
espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.{displaystyle K.}
Diz-se que uma função T:V→W{displaystyle T:Vrightarrow {W}} é uma transformação linear se, para quaisquer u,v∈V{displaystyle u,vin {V}}
e α∈K,{displaystyle alpha in {K},}
valem as relações:[1]
- T(v+u)=T(v)+T(u);{displaystyle T(v+u)=T(v)+T(u);}
- T(αv)=αT(v).{displaystyle T(alpha v)=alpha T(v).}
Exemplos [2] |
- a função T{displaystyle T}
de K{displaystyle K}
em K{displaystyle K}
definida por T(x)=3x;{displaystyle T(x)=3x;}
- a função T{displaystyle T}
de K2{displaystyle K^{2}}
em K{displaystyle K}
definida por T(x,y)=x+y;{displaystyle T(x,y)=x+y;}
- a função T{displaystyle T}
de K2{displaystyle K^{2}}
em K2{displaystyle K^{2}}
definida por T(x,y)=(3x+y,2x−2y);{displaystyle T(x,y)=(3x+y,2x-2y);}
- se D{displaystyle D}
for o espaço das funções deriváveis de R{displaystyle mathbb {R} }
em R{displaystyle mathbb {R} }
e se F{displaystyle F}
for o espaço de todas as funções de R{displaystyle mathbb {R} }
em R{displaystyle mathbb {R} }
, então a derivação (isto é, a função de D{displaystyle D}
em C{displaystyle C}
que envia cada função na sua derivada) é linear.
Em contrapartida, se a∈K−{0}{displaystyle ain K-{0}} então a função T{displaystyle T}
de K{displaystyle K}
em K{displaystyle K}
definida por T(x)=x+a{displaystyle T(x)=x+a}
não é uma transformação linear.
Se T{displaystyle T} for uma função de um espaço vetorial V{displaystyle V}
num espaço vetorial W,{displaystyle W,}
então afirmar que T{displaystyle T}
é linear equivale a afirmar que T{displaystyle T}
preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}}
∈ V{displaystyle V}
e dois escalares α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}
∈ K:{displaystyle K:}
Para qualquer aplicação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V}
em W{displaystyle W}
tem-se:
T(0)=0,{displaystyle T(0)=0,}pois T(0)=T(0−0)=T(0)−T(0)=0.{displaystyle T(0)=T(0-0)=T(0)-T(0)=0.}
- se v{displaystyle v}
∈ V,{displaystyle V,}
então T(−v)=−T(v),{displaystyle T(-v)=-T(v),}
pois T(v)+T(−v)=T(v−v)=T(0)=0.{displaystyle T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0.}
Função linear |
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Uma função linear
Função linear é a função matemática que possui duas propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Em suma:
f(ax+bx′)=a∗f(x)+b∗f(x′){displaystyle f(ax+bx')=a*f(x)+b*f(x')}
As funções lineares são funções cujo gráfico é uma recta que atravessa a origem do plano cartesiano, isto é, em que b=0.
Definição |
Chama-se função linear à função definida por uma equação da forma y=ax,{displaystyle y=ax,} em que a{displaystyle a}
é um número real.
y{displaystyle y}é a variável dependente e x{displaystyle x}
a variável independente;
a{displaystyle a}é o coeficiente angular
Nota: geralmente os economistas chamam a qualquer reta da forma y=mx+b{displaystyle y=mx+b} uma função linear. No entanto, o conceito puro matemático, requer que a ordenada na origem seja zero para que a função seja considerada linear. Quando b{displaystyle b}
é diferente de zero, passa-se a chamar de função afim.
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A definição mais geral de função linear é feita no contexto da álgebra linear, e depende do conceito de espaço vetorial.
Sejam (V,F,⊕V,⊗V,+,×) e (W,F,⊕W,⊗W,+,×){displaystyle (V,F,oplus _{V},otimes _{V},+,times ){mbox{ e }}(W,F,oplus _{W},otimes _{W},+,times )} espaços vetoriais. Uma função f:V→W{displaystyle f:Vrightarrow W}
é uma função linear se ela satisfaz os seguintes axiomas:
- ∀x,y∈V (f(x⊕Vy)=f(x)⊕Wf(y)){displaystyle forall x,yin V (f(xoplus _{V}y)=f(x)oplus _{W}f(y))}
- ∀a∈F ∀v∈V (f(a⊗Vv)=a⊗Wf(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(aotimes _{V}v)=aotimes _{W}f(v))}
Note-se que, quando não existe possibilidade de confusão, escreve-se + e . para as somas de vetores e produto de escalar por vetor, e os axiomas ficam:
- ∀x,y∈V (f(x+y)=f(x)+f(y)){displaystyle forall x,yin V (f(x+y)=f(x)+f(y))}
- ∀a∈F ∀v∈V (f(a v)=a f(v)){displaystyle forall ain F forall vin V (f(a v)=a f(v))}
Núcleo |
O núcleo de uma transformação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V}
em W,{displaystyle W,}
denotado por ker(T),{displaystyle ker(T),}
é o conjunto {v∈V|T(v)=0},{displaystyle {vin V,|,T(v)=0},}
em que 0{displaystyle 0}
é o vetor nulo de W.{displaystyle W.}
Exemplo: O núcleo da função T{displaystyle T} de K3{displaystyle K^{3}}
em K3{displaystyle K^{3}}
definida por T(x,y,z)=(2x−z,2z+y,x+y+3z/2){displaystyle T(x,y,z)=(2x-z,2z+y,x+y+3z/2)}
é:
O conjunto ker(T){displaystyle ker(T)} é um subespaço vetorial de V, pois se v1,v2{displaystyle v_{1},v_{2}}
∈ ker(T){displaystyle ker(T)}
e se α1,α2{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}}
∈ K,{displaystyle K,}
então T(α1v1+α2v2)=α1T(v1)+α2T(v2)=0,{displaystyle T(alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2})=alpha _{1}T(v_{1})+alpha _{2}T(v_{2})=0,}
ou seja, α1v1+α2v2{displaystyle alpha _{1}v_{1}+alpha _{2}v_{2}}
∈ ker(T).{displaystyle ker(T).}
Se uma aplicação linear T{displaystyle T} de V{displaystyle V}
em W{displaystyle W}
for injectiva, então ker(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}
pois T(0)=0{displaystyle T(0)=0}
e, portanto, pela injectividade de T,{displaystyle T,}
o único vector v{displaystyle v}
∈ V{displaystyle V}
tal que T(v)=0{displaystyle T(v)=0}
é 0.{displaystyle 0.}
Reciprocamente, se ker(T)={0},{displaystyle ker(T)={0},}
então T{displaystyle T}
é injectiva, pois, dados v,w{displaystyle v,w}
∈ V:{displaystyle V:}
Imagem |
Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W}
espaços vetoriais sobre um corpo K.{displaystyle K.}
A imagem de uma transformação linear T{displaystyle T}
de V{displaystyle V}
em W{displaystyle W}
é o conjunto:
Sejam w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}} dois elementos da imagem de T{displaystyle T}
e sejam α1,α2∈K.{displaystyle alpha _{1},alpha _{2}in K.}
Então, como w1,w2{displaystyle w_{1},w_{2}}
estão na imagem de T,{displaystyle T,}
há vectores v1,v2∈V{displaystyle v_{1},v_{2}in V}
tais que w1=T(v1){displaystyle w_{1}=T(v_{1})}
e que w2=T(v2),{displaystyle w_{2}=T(v_{2}),}
pelo que:
Logo, Im(T){displaystyle operatorname {Im} (T)}
Dimensão da imagem e do núcleo |
Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W}
espaços vetoriais sobre um corpo K,{displaystyle K,}
sendo V{displaystyle V}
de dimensão finita, e seja T{displaystyle T}
uma transformação linear de V{displaystyle V}
em W.{displaystyle W.}
Então
Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n=dim(ker(T)){displaystyle n=dim(ker(T))}
Se w{displaystyle w}
pelo que
visto que v1,v2,…,vn{displaystyle v_{1},v_{2},ldots ,v_{n}}
então
de onde resulta que α1w1+α2w2+…+αmwm{displaystyle alpha _{1}w_{1}+alpha _{2}w_{2}+ldots +alpha _{m}w_{m}}
Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.
Tipos especiais |
Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijetiva.
Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.
Se T{displaystyle T} for um endomorfismo de um espaço vetorial V{displaystyle V}
de dimensão finita, então são condições[3] equivalentes:
T{displaystyle T}é injetivo;
T{displaystyle T}é sobrejetivo;
T{displaystyle T}é bijetivo.
É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T{displaystyle T} for sobrejetivo, então
pelo que dim(ker(T))=0{displaystyle dim(ker(T))=0}
pelo que dim(V)=dim(Im(T)){displaystyle dim(V)=dim(operatorname {Im} (T))}
Exemplos de matrizes de transformações lineares |
Alguns casos especiais de transformações lineares[4] do espaço R2 são bastante elucidativas:
rotação de 90 graus no sentido anti-horário:
A=[0−110]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&-1\1&0end{bmatrix}}}
rotação por θ{displaystyle theta }graus no sentido anti-horário:
A=[cos(θ)−sen(θ)sen(θ)cos(θ)]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}cos(theta )&-mathrm {sen} ,(theta )\mathrm {sen} ,(theta )&cos(theta )end{bmatrix}}}
reflexão em torno do eixo x:
A=[100−1]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}
reflexão em torno do eixo y:
A=[−1001]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}-1&0\0&1end{bmatrix}}}
- projeção sobre o eixo y:
A=[0001].{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}0&0\0&1end{bmatrix}}.}
Espaço das transformações lineares |
Sejam V{displaystyle V} e W{displaystyle W}
espaços vetoriais sobre o corpo K.{displaystyle K.}
Seja L(V,W){displaystyle L(V,W)}
definido como o conjunto de todas transformações lineares de V{displaystyle V}
em W.{displaystyle W.}
Como funções, para quaisquer operadores T{displaystyle T}
e U{displaystyle U}
e qualquer escalar a,{displaystyle a,}
podemos definir T+U{displaystyle T+U}
e aT{displaystyle aT}
por:
É imediato provar que T+U{displaystyle T+U} e aT{displaystyle aT}
também são transformações lineares de V{displaystyle V}
em W,{displaystyle W,}
e que L(V,W){displaystyle L(V,W)}
com a soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial sobre K.{displaystyle K.}
Pelo fato de que, dadas bases de V{displaystyle V} e W,{displaystyle W,}
temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão n{displaystyle n}
× m,{displaystyle m,}
concluímos que a dimensão de L(V,W){displaystyle L(V,W)}
é nm{displaystyle nm}
(no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).
Espaço dos operadores lineares |
Um caso particular importante é o espaço L(V,V),{displaystyle L(V,V),} das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).
Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.
Assim, dado um operador linear T,{displaystyle T,} podem-se definir as potências T2,T3,{displaystyle T^{2},T^{3},}
ou, de modo geral, Tn,∀n∈Z+.{displaystyle T^{n},forall nin mathbb {Z^{+}} .}
Portanto, se p(x){displaystyle p(x)}
é um polinômio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido definir p(T):{displaystyle p(T):}
em que IV{displaystyle I_{V}}
Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:
- Se p(x){displaystyle p(x)}
e q(x){displaystyle q(x)}
são polinômios, então p(T)+q(T)=(p+q)(T){displaystyle p(T)+q(T)=(p+q)(T)}
e p(T)q(T)=(pq)(T).{displaystyle p(T)q(T)=(pq)(T).}
Se o espaço V{displaystyle V} tem dimensão finita n,{displaystyle n,}
então L(V,V){displaystyle L(V,V)}
também tem dimensão finita n2.{displaystyle n^{2}.}
Portanto, o conjunto de n2+1{displaystyle n^{2}+1}
operadores {IV,T,…,Tn2}{displaystyle {I_{V},T,ldots ,T^{n^{2}}}}
é linearmente dependente. Logo, existem escalares a0,a1,…an2,{displaystyle a_{0},a_{1},ldots a_{n^{2}},}
não todos nulos, tais que a0IV+a1T+…+an2Tn2=0.{displaystyle a_{0}I_{V}+a_{1}T+ldots +a_{n^{2}}T^{n^{2}}=0.}
Ou seja, existe um polinômio não-nulo p(x){displaystyle p(x)}
tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}
.
Se existe um polinômio não-nulo f(x){displaystyle f(x)} tal que f(T)=0{displaystyle f(T)=0}
, então o conjunto não-vazio dos polinômio q(x){displaystyle q(x)}
tais que q(T)=0{displaystyle q(T)=0}
forma um ideal no anel de todos polinômios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinômio mônico p(x){displaystyle p(x)}
tal que p(T)=0{displaystyle p(T)=0}
. Este polinômio é chamado de polinômio mínimo de T.{displaystyle T.}
Espaço dual |
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Seja V{displaystyle V} um espaço vetorial sobre um corpo K.{displaystyle K.}
O espaço dual de V,{displaystyle V,}
representado por V∗,{displaystyle V^{*},}
é o espaço vetorial L(V,K){displaystyle L(V,K)}
das transformações lineares de V{displaystyle V}
em K.{displaystyle K.}
Referências
↑ Lima, Elon Lages (2016). Álgebra Linear. Col: Coleção matemática universitária 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA. pp. 357 p. ISBN 9788524404207
↑ «Transformações lineares e exemplos». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018
↑ «Transformações injetoras, sobrejetoras e invertíveis». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática e Estatística. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018
↑ «Matriz de uma transformação linear». REAMAT, Recursos Educacionais Abertos de Matemática. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade do Rio Grande do Sul. Consultado em 20 de julho de 2018
Ver também |
- Função linear
- Função afim
- Função polinomial de primeiro grau