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Em matemática, e, em especial, em análise funcional, um operador linear em um espaço de Hilbert pode possuir um operador adjunto. Essa relação é a generalização, para qualquer dimensão, do conceito da matriz transposta conjugada. Se pensarmos no espaço de Hilbert como uma "generalização dos números complexos", então o adjunto de um operador desempenha o papel do conjugado de um número complexo.^[1]

O adjunto de um operador A{displaystyle A} é, por vezes, chamado de conjugado Hermitiano de A{displaystyle A} (após Charles Hermite) e é denotado por A∗{displaystyle A^{*}} ou A†{displaystyle A^{dagger }} , sendo a última notação especialmente utilizada em conjunto com a notação Bra-ket.^[2]

 O conjugado de Hermitiano de um operator na Notação de Bra-ket ⟨A†ϕ|ψ⟩=⟨ϕ|Aψ⟩{displaystyle {color {RedViolet}{begin{array}{||c|}hline {color {Black}{text{ O conjugado de Hermitiano de um operator na Notação de Bra-ket }}}\\{color {Blue}langle A^{dagger }phi |psi rangle =langle phi |Apsi rangle quad }\\hline end{array}}}}^[3]

Definição para os operadores limitados |

Suponha que H{displaystyle {mathcal {H}}} é um espaço de Hilbert, com o produto interno ⟨⋅|⋅⟩{displaystyle langle cdot |cdot rangle }. Considere uma operador linear contínuo A:H→H{displaystyle A:{mathcal {H}}rightarrow {mathcal {H}}} (isso é o mesmo que um operador linear limitado).

Usando o teorema da representação de Riesz, pode-se mostrar que existe um operador linear contínuo único A†:H→H{displaystyle A^{dagger }:{mathcal {H}}rightarrow {mathcal {H}}} com a seguinte propriedade:

⟨x|Ay⟩=⟨A†x|y⟩para todos x,y∈H.{displaystyle langle x|Ayrangle =langle A^{dagger }x|yrangle quad {mbox{para todos }}x,yin {mathcal {H}}.}

Esse operador A†{displaystyle A^{dagger }} é o adjunto de A{displaystyle A}. Isto pode ser visto como uma generalização da matriz adjunta.

Propriedades |

Propriedades imediatas:

1. 
   A∗∗=A{displaystyle A^{**}=A} - Involução
   


2. Se A{displaystyle A} é inversível, então assim é A∗{displaystyle A^{*}}, com (A∗)−1=(A−1)∗{displaystyle {(A^{*})}^{-1}={(A^{-1})}^{*}}
   


3. (A+B)∗=A∗+B∗{displaystyle {(A+B)}^{*}=A^{*}+B^{*}}


4. 
   (λA)∗=λ∗A∗{displaystyle {(lambda A)}^{*}=lambda ^{*}A^{*}}, onde λ∗{displaystyle lambda ^{*}} denota o conjugado do número complexo λ{displaystyle lambda }
   


5. (AB)∗=B∗A∗{displaystyle {(AB)}^{*}=B^{*}A^{*}}

Se nós definimos a norma operacional de A{displaystyle A} por

‖A‖op:=sup{‖Ax‖:‖x‖≤1}{displaystyle |A|_{op}:=sup{|Ax|:|x|leq 1}}

então

‖A∗‖op=‖A‖op{displaystyle |A^{*}|_{op}=|A|_{op}}.

Além disso,

‖A∗A‖op=‖A‖op2{displaystyle |A^{*}A|_{op}=|A|_{op}^{2}}

O conjunto de operadores lineares limitados em um espaço de Hilbert H{displaystyle H} juntamente com a operação adjunta e norma operacional formam um protótipo de uma álgebra C∗{displaystyle C^{*}}.

Componentes |

Seja Vn{displaystyle mathbb {V} ^{n}}um espaço vetorial finito sobre o corpo complexo e |i⟩,|j⟩∈Vn{displaystyle |irangle ,|jrangle in mathbb {V} ^{n}}dois vetores ortonormais contidos na base canônica desse espaço vetorial. Para qualquer dois vetores contidos nesse espaço na base canônica |a⟩,|b⟩{displaystyle |arangle ,|brangle }teremos que

⟨a|b⟩=(⟨b|a⟩)∗{displaystyle langle a|brangle =left(langle b|arangle right)^{*}}.

Assim considere o operador D⊂L(Vn){displaystyle mathbf {D} subset {mathcal {L}}left(mathbb {V} ^{n}right)}(D{displaystyle mathbf {D} }é endomórfico a Vn{displaystyle mathbb {V} ^{n}}), suas componentes são dadas por

Dij=⟨i|D|j⟩{displaystyle D_{ij}=langle i|mathbf {D} |jrangle }

mas note que

D|j⟩=|Dj⟩{displaystyle mathbf {D} |jrangle =|mathbf {D} jrangle }

portanto

⟨j|D†=⟨Dj|{displaystyle langle j|mathbf {D} ^{dagger }=langle mathbf {D} j|}

desse modo

(D†)ij=⟨i|D†|j⟩=⟨Di|j⟩=⟨j|Di⟩∗=⟨j|D|i⟩∗=(Dji)∗=Dji∗{displaystyle left(D^{dagger }right)_{ij}=langle i|mathbf {D} ^{dagger }|jrangle =langle mathbf {D} i|jrangle =langle j|mathbf {D} irangle ^{*}=langle j|mathbf {D} |irangle ^{*}=left(D_{ji}right)^{*}=D_{ji}^{*}}

portanto o adjunto de um operador representado matricialmente é igual à transposta da sua matriz com os conjugados complexos tomados.

Operador Hermitiano |

Ver artigo principal: Operador autoadjunto

Um operador P{displaystyle mathbf {P} } que atua num determinado espaço vetorial é dito Hermitiano se satisfaz

P†=P{displaystyle mathbf {P} ^{dagger }=mathbf {P} }

um exemplo de operador hermitiano é o operador momento visto na mecânica quântica. Suas componentes na base do operador posição (x,y,z){displaystyle (x,y,z)}são encontradas a partir da relação de completeza (estamos supondo que o espaço vetorial onde esses operadores atuam é completo)

⟨Φ|P†|Ψ⟩=∫−∞∞⟨PΦ|x′⟩⟨x′|Ψ⟩dx′=∫−∞∞(−iℏddx′δ(x′−x)Φ(x′))∗Ψ(x′)dx′=0+∫−∞∞Φ∗(x′)iℏ(−ddx′δ(x−x′)Ψ(x′))dx′=⟨Φ|P|Ψ⟩{displaystyle langle Phi |mathbf {P} ^{dagger }|Psi rangle =int limits _{-infty }^{infty }langle mathbf {P} Phi |x'rangle langle x'|Psi rangle dx'=int limits _{-infty }^{infty }left(-ihbar {frac {d}{dx'}}delta (x'-x)Phi (x')right)^{*}Psi (x')dx'=0+int limits _{-infty }^{infty }Phi ^{*}(x')ihbar left(-{frac {d}{dx'}}delta (x-x')Psi (x')right)dx'=langle Phi |mathbf {P} |Psi rangle }

pois as componentes do operador de derivação não são hermitianas (é anti-hermitiano)

Dx′x∗=(ddx′δ(x′−x))∗=(δ(x′−x)ddx′)∗=−δ(x−x′)ddx′=−ddx′δ(x−x′)=−Dxx′{displaystyle D_{x'x}^{*}=left({frac {d}{dx'}}delta (x'-x)right)^{*}=left(delta (x'-x){frac {d}{dx'}}right)^{*}=-delta (x-x'){frac {d}{dx'}}=-{frac {d}{dx'}}delta (x-x')=-D_{xx'}}

−i{displaystyle -i}

(−iDx′x)∗=(−iddx′δ(x′−x))∗=i(−ddx′δ(x−x′))=−iDxx′{displaystyle left(-iD_{x'x}right)^{*}=left(-i{frac {d}{dx'}}delta (x'-x)right)^{*}=ileft(-{frac {d}{dx'}}delta (x-x')right)=-iD_{xx'}}

Conjugado Hermitiano de um operador constante |

Temos um operador K=a+ib{displaystyle K=a+ib} , onde a{displaystyle a} e b{displaystyle b} são números reais, pela definição temos que o conjugado Hermitiano

⟨ϕ|Kψ⟩=⟨K†ϕ|ψ⟩{displaystyle langle phi |Kpsi rangle =langle K^{dagger }phi |psi rangle quad }

Substituimos K{displaystyle K} por a+ib{displaystyle a+ib} ,

⟨(a−ib)ϕ|ψ⟩=⟨ϕ|(a+ib)ψ⟩=(a+ib)⟨ϕ|ψ⟩{displaystyle langle (a-ib)phi |psi rangle =langle phi |(a+ib)psi rangle =(a+ib)langle phi |psi rangle quad }

temos que, o conjugado de um operador hermitiano constante é o seu conjugado complexo.^[4]

Adjuntos de operador antilinear |

Para um operador antilinear a definição de adjunto necessita ser ajustado a fim de compensar a conjugação complexa. Um operador adjunto do operador antilinear A{displaystyle A} em um espaço de Hilbert H{displaystyle H} é um operador antilinear A∗:H→H{displaystyle A^{*}:Hrightarrow H} com a propriedade:

⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩¯a todos x,y∈H.{displaystyle langle Ax,yrangle ={overline {langle x,A^{*}yrangle }}quad {text{a todos }}x,yin H.}

Outros adjuntos |

Está Equação

⟨Ax,y⟩=⟨x,A∗y⟩{displaystyle langle Ax,yrangle =langle x,A^{*}yrangle }

é formalmente semelhantes a definição de propriedades de pares de functor adjuntos na teoria da categoria, e neste momento que functor adjunto tem seu nome retirado.

Ver também |

Referências

O wikilivro Álgebra linear tem uma página intitulada Transformações lineares

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Operador adjunto

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