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Em matemática, e em especial na teoria dos conjuntos, a indução transfinita é uma técnica matemática rigorosa que permite provar propriedades para todos números ordinais (ou, de forma mais geral, para qualquer conjunto (ou classe) bem ordenado) a partir de etapas finitas. É uma generalização da indução finita.

A indução transfinita foi feita, primeiro, por Georg Cantor em 1897^[1], e foi formalizada em 1914 por Felix Hausdorff, no livro Grundzüge der Mengenlehre (Bases da Teoria dos Conjuntos) ^[2].

Analogamente a definições recursivas (por exemplo, o fatorial, definido como 0! = 1 e, recursivamente, como (n+1)! = (n+1) n!), existe a recursão transfinita, que consiste em definir uma "função" cujo argumento pertence a uma classe bem ordenada.

Indução transfinita |

Uma prova por indução transfinita requer o (único) passo seguinte:

1. Mostrar que se o enunciado vale para todo n < k, então o mesmo enunciado também vale para n = k.

Por razões práticas, as provas costumam ser feitas em três passos:

1. 
   k é um elemento mínimo, ou seja, não há elemento menor que k
   


2. 
   k tem um predecessor direto, ou seja, o conjunto de elementos que são menores que k tem um elemento maior


3. 
   k não tem um predecessor direto, ou seja, k é chamado de ordinal limite.

A rigor, não é necessário provar a base na indução transfinita, porque este é um caso especial vazio da proposição de que se P é verdadeiro para todo n < k, então P é verdadeiro para k. Isto é precisamente verdadeiro, porque não há valores para n < k que poderiam servir como contra-exemplos.

Na teoria axiomática dos conjuntos [modelo ZFC], o Princípio da Indução Transfinita é equivalente ao Axioma da Escolha, pois o Princípio esta relacionado ao "Princípio dos Bem-ordenados, de Ernst Zermelo".

Recursão transfinita |

A recursão transfinita é uma forma de definir objetos a partir dos ordinais, de um conjunto bem ordenado ou mesmo de uma classe bem ordenada.

A forma genérica é definir f(x) como uma função de todos (ou alguns) f(y) para todos y < x. Assim como a indução transfinita, costuma-se, por motivos práticos, quebrar a definição em três passos:

1. 
   f(k), para k um elemento mínimo


2. 
   f(k) para k sucessor, definido como f(k) = g(f, k-1) (em que, por um abuso de notação, k-1 representa o antecessor de k)


3. 
   f(k) para k limite, usando todos seus antecessores: f(k) = h(f, y₁, y₂, ...), para todos y_i < k.

Por exemplo, o Universo de von Neumann é uma classe de conjuntos V_λ definidos por recursão transfinita.

Referências

v • e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine