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A análise complexa é um ramo da matemática que investiga as funções holomorfas, isto é, as funções que estão definidas em alguma região do plano complexo, e que tomam valores complexos e são diferenciáveis como funções complexas.

Funções Complexas |

Seja A um conjunto de números complexos. Se z{displaystyle z} denota qualquer um dos números do conjunto A, então z{displaystyle z} é denominado uma variável complexa. Se existe uma correspondência entre os valores da variável complexa z{displaystyle z} para com uma outra variável complexa w{displaystyle w} para cada valor possível de z{displaystyle z} (elementos do conjunto A), então w{displaystyle w} é uma função da variável complexa z no conjunto A e isto é denotado como w=f(z).{displaystyle w=f(z).} O conjunto A é usualmente algum domínio, chamado domínio de definição da função w.{displaystyle w.}

Como todo numéro complexo pode ser escrito na forma z=a+bi,{displaystyle z=a+bi,} em que a=R(z),b=Im(z){displaystyle a=R(z),b=Im(z)} indicam a parte real e a parte imaginária do número complexo z, respectivamente, temos que é possível decompor a função complexa w=f(z){displaystyle w=f(z)} na forma f(z)=u(x,y)+iv(x,y).{displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y).} Como nas funções reais, existem diversas classes de funções que podem ser atribuídas às funções complexas, por exemplo:

P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn,{displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...+a_{n}z^{n},} em que z é uma variável complexa, é uma função polinomial em variável complexa.

Limites de Funções Complexas |

Seja uma função f{displaystyle f} definida em todos os pontos em alguma vizinhança de um ponto z0,{displaystyle z_{0},} exceto possivelmente no próprio ponto z0.{displaystyle z_{0}.} A afirmativa de que o limite de tal função, quando z{displaystyle z} tende a z0,{displaystyle z_{0},} é um número w0,{displaystyle w_{0},} denotado como limz→z0f(z)=w0,{displaystyle lim _{zto z_{0}}f(z)=w_{0},} significa que a função é arbitrariamente próxima do valor w0{displaystyle w_{0}} para todos os pontos z{displaystyle z} numa vizinhança de z0,{displaystyle z_{0},} exceto possivelmente quando z=z0,{displaystyle z=z_{0},} quando esta vizinhança for suficientemente pequena. Assim, dados a função f e dois números complexos z0{displaystyle z_{0}} e w0,{displaystyle w_{0},} existe uma número positivo δ{displaystyle delta } correspondendo a cada número positivo ϵ{displaystyle epsilon } de forma que:

|f(z)−w0|<ϵ{displaystyle |f(z)-w_{0}|<epsilon } sempre que |z−z0|<δ.{displaystyle |z-z_{0}|<delta .} (z{displaystyle z} ≠ z0{displaystyle z_{0}})

Algumas propriedades típicas dos limites de funções reais também podem ser aplicadas às funções complexas, por exemplo:
1) o limite da soma é igual a soma dos limites;
2) o limite do produto é igual ao produto dos limites;
3) o limite do quociente é igual ao quociente dos limites (dado que o denominador não seja 0);
...

As condições de continuidade para as funções complexas são as mesmas de uma função real.

A Derivada de uma Função Complexa |

Tomemos, à semelhança das funções reais, o limite limΔz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz=f′(z)=dfdz,{displaystyle lim _{Delta zto 0}{frac {f(z_{0}+Delta z)-f(z_{0})}{Delta z}}=f'(z)={frac {df}{dz}},} denominado "derivada" da função f{displaystyle f} em relação a z{displaystyle z} no ponto z0.{displaystyle z_{0}.} Assim, como nas funções reais, uma função complexa tem de ser contínua em um ponto para que seja diferenciável neste ponto (mas a recíproca não é necessariamente verdadeira). As principais fórmulas de diferenciação empregadas nas funções reais tem sua versão análoga para as funções complexas.

As Condições de Cauchy-Riemann |

Suponha que a função f seja derivável em z0,{displaystyle z_{0},} em que z0=x0+iy0:{displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}:}

f(z)=u(x,y)+iv(x,y){displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}

f′(z)=a+ib{displaystyle f'(z)=a+ib}

Δf=f(z0+Δz)−f(z0){displaystyle Delta f=f(z_{0}+Delta z)-f(z_{0})}

Δu=u(x0+Δx,yo+Δy)−u(x0,y0){displaystyle Delta u=u(x_{0}+Delta x,y_{o}+Delta y)-u(x_{0},y_{0})}

e Δv,{displaystyle Delta v,} para a mudança correspondente em v(x,y). Então limΔz→0ΔfΔz=limΔz→0Δu+iΔvΔx+iΔy=a+ib{displaystyle lim _{Delta zto 0}{frac {Delta f}{Delta z}}=lim _{Delta zto 0}{frac {Delta u+iDelta v}{Delta x+iDelta y}}=a+ib}

e também:

limΔx→0,Δy→0Re(Δu+iΔvΔx+iΔy)=a{displaystyle lim _{Delta xto 0,Delta yto 0}{text{Re}}left({frac {Delta u+iDelta v}{Delta x+iDelta y}}right)=a}

limΔx→0,Δy→0Im(Δu+iΔvΔx+iΔy)=b{displaystyle lim _{Delta xto 0,Delta yto 0}{text{Im}}left({frac {Delta u+iDelta v}{Delta x+iDelta y}}right)=b}

Em particular, quando Δy=0,{displaystyle Delta y=0,} em que Δz=Δx,{displaystyle Delta z=Delta x,} esses limites se tornam limites de funções de uma variável (Delta x) de forma que:

limΔx→0u(x0+Δx,y0)−u(x0,y0)Δx=a{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {u(x_{0}+Delta x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{Delta x}}=a}

limΔx→0v(x0+Δx,y0)−v(x0,y0)Δx=b{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {v(x_{0}+Delta x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{Delta x}}=b}

ou seja, as derivadas parciais ∂u∂x{displaystyle {frac {partial u}{partial x}}} e ∂v∂x{displaystyle {frac {partial v}{partial x}}} com relação a x existem no ponto (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} e

∂u∂x=a{displaystyle {frac {partial u}{partial x}}=a}

∂v∂x=b{displaystyle {frac {partial v}{partial x}}=b}

O procedimento análogo pode ser feito observando quando Δx=0(Δz=iΔy){displaystyle Delta x=0(Delta z=iDelta y)} de forma que existem as derivadas parciais com relação a y e são elas:

∂u∂y=−b{displaystyle {frac {partial u}{partial y}}=-b}

∂v∂y=a,{displaystyle {frac {partial v}{partial y}}=a,}

(x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})}

Dos dois procedimentos, chegamos às equações:

∂u∂x=∂v∂y{displaystyle {frac {partial u}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}}

∂u∂y=−∂v∂x{displaystyle {frac {partial u}{partial y}}=-{frac {partial v}{partial x}}}

Que são as Condições de Cauchy-Riemann. Como f′(z)=a+ib,{displaystyle f'(z)=a+ib,} chegamos à expressão f′(z)=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y,{displaystyle f'(z)={frac {partial u}{partial x}}+i{frac {partial v}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}-i{frac {partial u}{partial y}},} no ponto (x0,y0).{displaystyle (x_{0},y_{0}).} Estabelece-se o Teorema:

Teorema. Se a derivada f′(z){displaystyle f'(z)} de uma função f=u+iv{displaystyle f=u+iv} existe num ponto z,{displaystyle z,} então as derivadas parciais de primeira ordem, com relação a x{displaystyle x} e y,{displaystyle y,} de cada componente u{displaystyle u} e v{displaystyle v} devem existir naquele ponto e satisfazer as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, f′(z){displaystyle f'(z)} é dada em termos de suas derivadas parciais pela equação f′(z)=∂u∂x+i∂v∂x=∂v∂y−i∂u∂y.{displaystyle f'(z)={frac {partial u}{partial x}}+i{frac {partial v}{partial x}}={frac {partial v}{partial y}}-i{frac {partial u}{partial y}}.}

O Wikilivros tem um livro chamado Análise complexa

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