Sequência (matemática)
Nota: Para outros significados, veja Sequência.
Em matemática, o conceito de sucessão (português europeu) ou sequência (português brasileiro) tem significado similar ao uso comum da palavra, mas recebe uma definição precisa. Formalmente falando, uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências infinitas ou finitas. [1]
Índice
1 Definição e Notação
2 Sequências infinitas
3 Sequências bi-infinitas
4 Sequência de números reais
5 Sequências definidas de forma recursiva
5.1 Progressão Aritmética
5.2 Progressão Geométrica
5.3 Sequência de Fibonacci
5.4 Método para extração da raiz quadrada
6 Ver também
7 Referências
8 Bibliografia
Definição e Notação |
Em análise matemática, define-se uma sequência como uma função…x−2x−1.x0x1x2…{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots } f:A⊂N→B{displaystyle f:Asubset mathbb {N} to B} definida sobre um subconjunto A{displaystyle A} dos números naturais que toma elementos no conjunto B{displaystyle B}.[2]
Usualmente para sequências, denotamos o valor de f{displaystyle f} em n{displaystyle n} por fn,{displaystyle f_{n},} em vez de f(n).{displaystyle f(n).} Este termo fn{displaystyle f_{n}} é dito ser o n{displaystyle n}-ésimo termo da sequência. A notação (fn)n∈A{displaystyle (f_{n})_{nin A}} é usada para denotar a sequência f{displaystyle f}, cujos índices são tomados no conjunto A{displaystyle A}. Quando o conjunto dos índices A{displaystyle A} está subentendido, normalmente escrevemos (fn)n{displaystyle (f_{n})_{n}} ou, simplesmente, (fn){displaystyle (f_{n})}. Por extenso, escrevemos (fn)n=(f1,f2,f3,…){displaystyle (f_{n})_{n}=(f_{1},f_{2},f_{3},ldots )}. Observamos, ainda, que as notações {fn}n=1∞{displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }} e {fn}{displaystyle {f_{n}}} também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.[3][4][5][6][7]
Sequências infinitas |
Uma sequência numérica infinita é uma função f:N→B{displaystyle f:mathbb {N} to B}, cujo domínio é o conjunto dos número naturais.[5][6][7] Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:
- a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
- a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
- a sequência de aproximações por falta para π{displaystyle pi } (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);
- a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).
Sequências bi-infinitas |
No estudo de dinâmica simbólica[8], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por N{displaystyle mathbb {N} }, mas por Z{displaystyle mathbb {Z} }. Assim, usa-se a notação (xk)k∈Z{displaystyle (x_{k})_{kin mathbb {Z} }}para se referir a sequência (…,x−2,x−1,x0,x1,x2,…){displaystyle (ldots ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},ldots )}. Também usa-se a notação mais compacta …x−2x−1.x0x1x2…{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots } com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.
Sequência de números reais |
Ver artigo principal: Sequência de números reais
Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} é uma função a:N→R{displaystyle a:mathbb {N} to mathbb {R} }. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. [5][6] São exemplos de sequências reais:
a) (1n)n=(1, 12, 13, …, 1n, …){displaystyle left({frac {1}{n}}right)_{n}=left(1,~{frac {1}{2}},~{frac {1}{3}},~ldots ,~{frac {1}{n}},~ldots right)}
b) (2n−4)n=(−2, 0, 2, …, 2n−4, …){displaystyle (2n-4)_{n}=(-2,~0,~2,~ldots ,~2n-4,~ldots )}
c) (1, −1, 1, …, (−1)n+1, …){displaystyle (1,~-1,~1,~ldots ,~(-1)^{n+1},~ldots )}
Sequências definidas de forma recursiva |
Dizemos que uma sequência (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} está recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} e uma lei explícita que relaciona seu n{displaystyle n}-ésimo termo, n>1,{displaystyle n>1,} com um ou mais termos anteriores, i.e. é explicitamente dada uma função an=f(a1,a2,…,an−1){displaystyle a_{n}=f(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n-1})}. Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.
Na sequência, apresentamos algumas sequências recorrentes comumente estudas.
Progressão Aritmética |
Ver artigo principal: Progressão aritmética
Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r. Escrevemos então an=a1+(n−1)r{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r} ou an=an−1+r{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r}, onde a1{displaystyle a_{1}} e r{displaystyle r} são constantes previamente definidas.
- Exemplos
- a1=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)⇔an=an−1+1,a1=1,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+1,a_{1}=1,n=2,3,...}
- a1=−3,r=5:(−3,2,7,12,17,22,27,...)⇔an=an−1+5,a1=−3,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=-3,r=5:(-3,2,7,12,17,22,27,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+5,a_{1}=-3,n=2,3,...}
- a1=13,r=−3:(13,10,7,4,1,−2,−5...)⇔an=an−1−3,a1=13,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=13,r=-3:(13,10,7,4,1,-2,-5...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}-3,a_{1}=13,n=2,3,...}
Progressão Geométrica |
Ver artigo principal: Progressão geométrica
Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} é uma progressão geométrica quando an=an−1q{displaystyle a_{n}=a_{n-1}q}, n>1{displaystyle n>1}, tendo sido dados o primeiro termo a1{displaystyle a_{1}} e a razão q{displaystyle q}.
- Exemplos
- a1=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)⇔an=an−11,a1=1,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}1,a_{1}=1,n=2,3,...}
- a1=3,q=−1:(3,−3,3,−3,3,−3,3,−3,...)⇔an=an−1(−1),a1=3,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=3,q=-1:(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}(-1),a_{1}=3,n=2,3,...}
- a1=16,q=−12:(16,−8,4,−2,1,−12,14...)⇔an=an−1(−12),a1=16,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=16,q=-{frac {1}{2}}:(16,-8,4,-2,1,{frac {-1}{2}},{frac {1}{4}}...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}left(-{frac {1}{2}}right),a_{1}=16,n=2,3,...}
Sequência de Fibonacci |
Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci
A sequência de Fibonacci (fn)n{displaystyle (f_{n})_{n}} é definida por f1=0{displaystyle f_{1}=0}, f2=1{displaystyle f_{2}=1} e fn=fn−2+fn−1{displaystyle f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}}, paran=3,4,5,...{displaystyle n=3,4,5,...}, i.e.:
- (fn)n=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...){displaystyle (f_{n})_{n}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...)}
Método para extração da raiz quadrada |
Dado um número positivo qualquer c{displaystyle c}, desejamos encontrar um número x{displaystyle x} positivo tal que x2=c{displaystyle x^{2}=c}. Suponhamos, agora, que nos é conhecida apenas uma aproximação x~>0{displaystyle {tilde {x}}>0} para x{displaystyle x}. Notemos que:
- x~cx~=c{displaystyle {tilde {x}}{frac {c}{tilde {x}}}=c}
e, observamos que:
c{displaystyle {sqrt {c}}} é um valor entre x~{displaystyle {tilde {x}}} e cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}};- se a aproximação x~{displaystyle {tilde {x}}} aumenta de valor, então o fator cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}} diminui e vice-versa;
x{displaystyle x} é solução de x2=c{displaystyle x^{2}=c}, se x=cx{displaystyle x={frac {c}{x}}}.
Destas observações, vemos que uma melhor aproximação para c{displaystyle {sqrt {c}}} pode ser obtida tomando a média aritmética entre x~{displaystyle {tilde {x}}} e cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}}, i.e.:
a1=12(x~+cx~){displaystyle a_{1}={frac {1}{2}}({tilde {x}}+{frac {c}{tilde {x}}})}.
Agora, a1{displaystyle a_{1}} é uma nova aproximação de x{displaystyle x} e, repetindo o argumento acima, temos que a média:
- a2=12(a1+ca1){displaystyle a_{2}={frac {1}{2}}(a_{1}+{frac {c}{a_{1}}})}
é uma aproximação para x{displaystyle x} ainda melhor que a1{displaystyle a_{1}}.
Seja, então, (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}} a sequência definida recursivamente por:
a1=x~,an=12(an−1+can−1),n=2,3,...{displaystyle a_{1}={tilde {x}},quad a_{n}={frac {1}{2}}(a_{n-1}+{frac {c}{a_{n-1}}}),n=2,3,...}.
Podemos mostrar que an{displaystyle a_{n}} converge para c{displaystyle {sqrt {c}}}. Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.[6]
Ver também |
- Fórmula do termo geral
- Progressão aritmética
- Progressão geométrica
- Sequência de Farey
- Sequência de Fibonacci
- Sequência de Thue-Morse
- Polinômios de Boubaker
- Sequência de Golomb
Referências
↑ Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53
↑ LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.
↑ CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.
↑ Halmos, Paul R. (2001). Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna. ISBN 9788573931419
↑ abc Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183
↑ abcd Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680
↑ ab Ávila, Geraldo Severo de Souza (2006). Análise Matemática para Licenciatura 3 ed. São Paulo: Blucher. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7
↑ Lind, Douglas; Marcus, Brian (1996). An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0521551243
Bibliografia |
- Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.- Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
- Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.