Sequência (matemática)





Disambig grey.svg Nota: Para outros significados, veja Sequência.

Em matemática, o conceito de sucessão (português europeu) ou sequência (português brasileiro) tem significado similar ao uso comum da palavra, mas recebe uma definição precisa. Formalmente falando, uma sequência é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possuí, podendo existir sequências infinitas ou finitas. [1]




Índice






  • 1 Definição e Notação


  • 2 Sequências infinitas


  • 3 Sequências bi-infinitas


  • 4 Sequência de números reais


  • 5 Sequências definidas de forma recursiva


    • 5.1 Progressão Aritmética


    • 5.2 Progressão Geométrica


    • 5.3 Sequência de Fibonacci


    • 5.4 Método para extração da raiz quadrada




  • 6 Ver também


  • 7 Referências


  • 8 Bibliografia





Definição e Notação |


Em análise matemática, define-se uma sequência como uma funçãox−2x−1.x0x1x2…{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots }{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots } f:A⊂N→B{displaystyle f:Asubset mathbb {N} to B}f:Asubsetmathbb{N}to B definida sobre um subconjunto A{displaystyle A}A dos números naturais que toma elementos no conjunto B{displaystyle B}B.[2]


Usualmente para sequências, denotamos o valor de f{displaystyle f}f em n{displaystyle n}n por fn,{displaystyle f_{n},}f_n, em vez de f(n).{displaystyle f(n).}f(n). Este termo fn{displaystyle f_{n}}f_n é dito ser o n{displaystyle n}n-ésimo termo da sequência. A notação (fn)n∈A{displaystyle (f_{n})_{nin A}}(f_{n})_{{nin A}} é usada para denotar a sequência f{displaystyle f}f, cujos índices são tomados no conjunto A{displaystyle A}A. Quando o conjunto dos índices A{displaystyle A}A está subentendido, normalmente escrevemos (fn)n{displaystyle (f_{n})_{n}}(f_{n})_{{n}} ou, simplesmente, (fn){displaystyle (f_{n})}(f_{n}). Por extenso, escrevemos (fn)n=(f1,f2,f3,…){displaystyle (f_{n})_{n}=(f_{1},f_{2},f_{3},ldots )}(f_{n})_{n}=(f_{1},f_{2},f_{3},ldots ). Observamos, ainda, que as notações  {fn}n=1∞{displaystyle {f_{n}}_{n=1}^{infty }} {f_{n}}_{{n=1}}^{{infty }} e {fn}{displaystyle {f_{n}}}{f_{n}} também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.[3][4][5][6][7]



Sequências infinitas |


Uma sequência numérica infinita é uma função f:N→B{displaystyle f:mathbb {N} to B}f: mathbb{N}to B, cujo domínio é o conjunto dos número naturais.[5][6][7] Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:



  1. a sequência de números pares (2, 4, 6,...);

  2. a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);

  3. a sequência de aproximações por falta para π{displaystyle pi }pi (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);

  4. a sequência (1, 1, 1, 1, 1,...).



Sequências bi-infinitas |


No estudo de dinâmica simbólica[8], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por N{displaystyle mathbb {N} }mathbb{N}, mas por Z{displaystyle mathbb {Z} }mathbb {Z} . Assim, usa-se a notação (xk)k∈Z{displaystyle (x_{k})_{kin mathbb {Z} }}{displaystyle (x_{k})_{kin mathbb {Z} }}para se referir a sequência (…,x−2,x−1,x0,x1,x2,…){displaystyle (ldots ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},ldots )}{displaystyle (ldots ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},ldots )}. Também usa-se a notação mais compacta x−2x−1.x0x1x2…{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots }{displaystyle ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}ldots } com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.



Sequência de números reais |



Ver artigo principal: Sequência de números reais

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}}(a_{n})_{n} é uma função a:N→R{displaystyle a:mathbb {N} to mathbb {R} }a:{mathbb  {N}}to {mathbb  {R}}. O estudo destas sequências traz resultados importantes na análise matemática de funções reais. [5][6] São exemplos de sequências reais:


a) (1n)n=(1, 12, 13, …, 1n, …){displaystyle left({frac {1}{n}}right)_{n}=left(1,~{frac {1}{2}},~{frac {1}{3}},~ldots ,~{frac {1}{n}},~ldots right)}left({frac  {1}{n}}right)_{n}=left(1,~{frac  {1}{2}},~{frac  {1}{3}},~ldots ,~{frac  {1}{n}},~ldots right)


b) (2n−4)n=(−2, 0, 2, …, 2n−4, …){displaystyle (2n-4)_{n}=(-2,~0,~2,~ldots ,~2n-4,~ldots )}(2n-4)_{n}=(-2,~0,~2,~ldots ,~2n-4,~ldots )


c) (1, −1, 1, …, (−1)n+1, …){displaystyle (1,~-1,~1,~ldots ,~(-1)^{n+1},~ldots )}{displaystyle (1,~-1,~1,~ldots ,~(-1)^{n+1},~ldots )}



Sequências definidas de forma recursiva |


Dizemos que uma sequência (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}}(a_{n})_{n} está recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo a1{displaystyle a_{1}}a_1 e uma lei explícita que relaciona seu n{displaystyle n}n-ésimo termo, n>1,{displaystyle n>1,}n>1, com um ou mais termos anteriores, i.e. é explicitamente dada uma função an=f(a1,a2,…,an−1){displaystyle a_{n}=f(a_{1},a_{2},ldots ,a_{n-1})}a_{n}=f(a_{1},a_{2},ldots ,a_{{n-1}}). Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.


Na sequência, apresentamos algumas sequências recorrentes comumente estudas.



Progressão Aritmética |



Ver artigo principal: Progressão aritmética

Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra r. Escrevemos então an=a1+(n−1)r{displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)r}a_{n}=a_{1}+(n-1)r ou an=an−1+r{displaystyle a_{n}=a_{n-1}+r}a_n = a_{n-1} + r, onde a1{displaystyle a_{1}}a_1 e r{displaystyle r}r são constantes previamente definidas.



Exemplos




  • a1=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)⇔an=an−1+1,a1=1,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+1,a_{1}=1,n=2,3,...}a_{{1}}=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{{n-1}}+1,a_{1}=1,n=2,3,...

  • a1=−3,r=5:(−3,2,7,12,17,22,27,...)⇔an=an−1+5,a1=−3,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=-3,r=5:(-3,2,7,12,17,22,27,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+5,a_{1}=-3,n=2,3,...}a_{{1}}=-3,r=5:(-3,2,7,12,17,22,27,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{{n-1}}+5,a_{1}=-3,n=2,3,...

  • a1=13,r=−3:(13,10,7,4,1,−2,−5...)⇔an=an−1−3,a1=13,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=13,r=-3:(13,10,7,4,1,-2,-5...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}-3,a_{1}=13,n=2,3,...}a_{{1}}=13,r=-3:(13,10,7,4,1,-2,-5...)Leftrightarrow a_{n}=a_{{n-1}}-3,a_{1}=13,n=2,3,...



Progressão Geométrica |



Ver artigo principal: Progressão geométrica

Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}}(a_{n})_{n} é uma progressão geométrica quando an=an−1q{displaystyle a_{n}=a_{n-1}q}a_{n}=a_{{n-1}}q, n>1{displaystyle n>1}n>1, tendo sido dados o primeiro termo a1{displaystyle a_{1}}a_1 e a razão q{displaystyle q}q.


Exemplos


  • a1=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)⇔an=an−11,a1=1,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}1,a_{1}=1,n=2,3,...}a_{{1}}=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{{n-1}}1,a_{1}=1,n=2,3,...

  • a1=3,q=−1:(3,−3,3,−3,3,−3,3,−3,...)⇔an=an−1(−1),a1=3,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=3,q=-1:(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}(-1),a_{1}=3,n=2,3,...}a_{{1}}=3,q=-1:(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)Leftrightarrow a_{n}=a_{{n-1}}(-1),a_{1}=3,n=2,3,...

  • a1=16,q=−12:(16,−8,4,−2,1,−12,14...)⇔an=an−1(−12),a1=16,n=2,3,...{displaystyle a_{1}=16,q=-{frac {1}{2}}:(16,-8,4,-2,1,{frac {-1}{2}},{frac {1}{4}}...)Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}left(-{frac {1}{2}}right),a_{1}=16,n=2,3,...}a_{{1}}=16,q=-{frac  {1}{2}}:(16,-8,4,-2,1,{frac  {-1}{2}},{frac  {1}{4}}...)Leftrightarrow a_{n}=a_{{n-1}}left(-{frac  {1}{2}}right),a_{1}=16,n=2,3,...



Sequência de Fibonacci |



Ver artigo principal: Sequência de Fibonacci



Espiral baseada na sequência de Fibonacci.


A sequência de Fibonacci (fn)n{displaystyle (f_{n})_{n}}(f_{n})_{n} é definida por f1=0{displaystyle f_{1}=0}f_{1}=0, f2=1{displaystyle f_{2}=1}f_{2}=1 e fn=fn−2+fn−1{displaystyle f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}}f_{n}=f_{{n-2}}+f_{{n-1}}, paran=3,4,5,...{displaystyle n=3,4,5,...}n=3,4,5,..., i.e.:


(fn)n=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...){displaystyle (f_{n})_{n}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...)}(f_{n})_{n}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...)


Método para extração da raiz quadrada |




Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada.


Dado um número positivo qualquer c{displaystyle c}c, desejamos encontrar um número x{displaystyle x}x positivo tal que x2=c{displaystyle x^{2}=c}x^{2}=c. Suponhamos, agora, que nos é conhecida apenas uma aproximação x~>0{displaystyle {tilde {x}}>0}{tilde  {x}}>0 para x{displaystyle x}x. Notemos que:


x~cx~=c{displaystyle {tilde {x}}{frac {c}{tilde {x}}}=c}{tilde  {x}}{frac  {c}{{tilde  {x}}}}=c

e, observamos que:




  1. c{displaystyle {sqrt {c}}}{sqrt  {c}} é um valor entre x~{displaystyle {tilde {x}}}{tilde  {x}} e cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}}{frac  {c}{{tilde  {x}}}};

  2. se a aproximação x~{displaystyle {tilde {x}}}{tilde  {x}} aumenta de valor, então o fator cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}}{frac  {c}{{tilde  {x}}}} diminui e vice-versa;


  3. x{displaystyle x}x é solução de x2=c{displaystyle x^{2}=c}x^{2}=c, se x=cx{displaystyle x={frac {c}{x}}}x={frac  {c}{x}}.


Destas observações, vemos que uma melhor aproximação para c{displaystyle {sqrt {c}}}{sqrt  {c}} pode ser obtida tomando a média aritmética entre x~{displaystyle {tilde {x}}}{tilde  {x}} e cx~{displaystyle {frac {c}{tilde {x}}}}{frac  {c}{{tilde  {x}}}}, i.e.:



a1=12(x~+cx~){displaystyle a_{1}={frac {1}{2}}({tilde {x}}+{frac {c}{tilde {x}}})}a_{1}={frac  {1}{2}}({tilde  {x}}+{frac  {c}{{tilde  {x}}}}).

Agora, a1{displaystyle a_{1}}a_1 é uma nova aproximação de x{displaystyle x}x e, repetindo o argumento acima, temos que a média:


a2=12(a1+ca1){displaystyle a_{2}={frac {1}{2}}(a_{1}+{frac {c}{a_{1}}})}a_{2}={frac  {1}{2}}(a_{1}+{frac  {c}{a_{1}}})

é uma aproximação para x{displaystyle x}x ainda melhor que a1{displaystyle a_{1}}a_1.


Seja, então, (an)n{displaystyle (a_{n})_{n}}(a_{n})_{n} a sequência definida recursivamente por:



a1=x~,an=12(an−1+can−1),n=2,3,...{displaystyle a_{1}={tilde {x}},quad a_{n}={frac {1}{2}}(a_{n-1}+{frac {c}{a_{n-1}}}),n=2,3,...}a_{1}={tilde  {x}},quad a_{n}={frac  {1}{2}}(a_{{n-1}}+{frac  {c}{a_{{n-1}}}}),n=2,3,....

Podemos mostrar que an{displaystyle a_{n}}a_n converge para c{displaystyle {sqrt {c}}}{sqrt  {c}}. Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.[6]



Ver também |



  • Fórmula do termo geral

  • Progressão aritmética

  • Progressão geométrica

  • Sequência de Farey

  • Sequência de Fibonacci

  • Sequência de Thue-Morse

  • Polinômios de Boubaker

  • Sequência de Golomb



Referências




  1. Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53


  2. LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.


  3. CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.


  4. Halmos, Paul R. (2001). Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna. ISBN 9788573931419 


  5. abc Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183 


  6. abcd Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680 


  7. ab Ávila, Geraldo Severo de Souza (2006). Análise Matemática para Licenciatura 3 ed. São Paulo: Blucher. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7 


  8. Lind, Douglas; Marcus, Brian (1996). An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0521551243 



Bibliografia |



  • Ávila, Geraldo Severo de Souza. Análise matemática para licenciatura. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4


  • Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.

  • Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.

  • Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.






























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