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Uma imagem ilustrando a adição geométrica em uma curva cúbica em um espaço projetivo. A teoria dos anéis é fundamental na geometria algébrica.

 Nota: Para outro significado de Anel, veja Anel.

Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição.^[1]

Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis.

Definição |

Um anel é uma estrutura algébrica que consiste num conjunto A{displaystyle A} com um elemento 0{displaystyle 0} e duas operações binárias +{displaystyle +} e ⋅{displaystyle cdot } que satisfazem as seguintes condições:

1. 
   Associatividade de +:{displaystyle +:} (∀a,b,c∈A):(a+b)+c=a+(b+c){displaystyle (forall a,b,cin A):(a+b)+c=a+(b+c)}
   


2. Existência de elemento neutro (0) de +:{displaystyle +:} (∀a∈A):a+0=0+a=a{displaystyle (forall ain A):a+0=0+a=a}
   


3. Existência de simétrico de +:{displaystyle +:} (∀a∈A)(∃b∈A):a+b=0{displaystyle (forall ain A)(exists bin A):a+b=0}
   


4. Comutatividade de +:{displaystyle +:} (∀a,b∈A):a+b=b+a{displaystyle (forall a,bin A):a+b=b+a}
   


5. Associatividade de ⋅:{displaystyle cdot :} (∀a,b,c∈A):(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c){displaystyle (forall a,b,cin A):(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)}
   


6. 
   Distributividade de ⋅{displaystyle cdot } em relação a +{displaystyle +} (à esquerda e à direita): (∀a,b,c∈A):a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c∧(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{displaystyle (forall a,b,cin A):acdot (b+c)=acdot b+acdot c,wedge ,(a+b)cdot c=acdot c+bcdot c}
   

Alguns autores incluem ainda o axioma:

7. Existência de elemento neutro (1) de ⋅:{displaystyle cdot :} ∃1∈A,1≠0∧(∀a∈A,1.a=a.1=a){displaystyle exists 1in A,1neq 0land (forall ain A,1.a=a.1=a)}

Em particular, temos que (A,+){displaystyle (A,+)} é um grupo abeliano. Como em qualquer grupo, o inverso para a adição de um elemento a∈A,{displaystyle ain A,} cuja existência é garantida pela terceira condição, é único e costuma ser representado por −a.{displaystyle -a.} Além disso, se a,b∈A,{displaystyle a,bin A,} costuma-se representar a+(−b){displaystyle a+(-b)} por a−b.{displaystyle a-b.}

Exemplos |

• O conjunto Z{displaystyle mathbb {Z} } dos números inteiros forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais. O mesmo acontece com o conjunto Q{displaystyle mathbb {Q} } dos números racionais, o conjunto R{displaystyle mathbb {R} } dos números reais, o conjunto C{displaystyle mathbb {C} } dos números complexos e os quatérnios.


• O conjunto dos números complexos que são raízes de polinómios da forma xn+an−1xn−1+{displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+} ··· +a1x+a0,{displaystyle +a_{1}x+a_{0},} com coeficientes inteiros, forma um anel relativamente à adição e à multiplicação usuais, o anel dos inteiros algébricos.


• O menor anel é formado somente por 0.{displaystyle 0.}
  


• Seja (G,+){displaystyle (G,+)} um grupo abeliano e seja End(G{displaystyle G}) o conjunto dos endomorfismos de G.{displaystyle G.} Se, dados f,g{displaystyle f,g} ∈ End(G{displaystyle G}), se definir a adição de f+g{displaystyle f+g} ∈ End(G{displaystyle G}) de f{displaystyle f} com g{displaystyle g} por (f+g)(x)=f(x)+g(x),{displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x),} então End(G{displaystyle G}) é um anel relativamente às operações adição e composição.

Casos particulares |

• Se a multiplicação é comutativa, temos um anel comutativo.


• Se a multiplicação tem elemento neutro, temos um anel com identidade ou anel com unidade.


• Um anel de divisão é um anel (A,+,.){displaystyle (A,+,.)} em que (A{displaystyle (A}  {0{displaystyle 0}},.){displaystyle ,.)} é um grupo.


• Se a multiplicação tem elemento neutro e é idempotente, temos um anel booliano. Anéis boolianos e álgebras boolianas tem uma correspondência trivial.

Divisores de zero |

Ver artigo principal: Divisor de zero

Sejam A{displaystyle A} um anel e a{displaystyle a} um elemento de A{displaystyle A} diferente de 0.{displaystyle 0.} Diz-se que a{displaystyle a} é um divisor de zero se existir algum b{displaystyle b} ∈ A{displaystyle A}  {0}{displaystyle {0}} tal que a.b=0{displaystyle a.b=0} ou que b.a=0.{displaystyle b.a=0.}

Exemplos:

• O anel Z dos números inteiros não tem divisores de zero.


• Seja n{displaystyle n} um número natural maior do que 1{displaystyle 1} e seja Zn={0,,…,n−1}{displaystyle _{n}={0,,ldots ,n-1}} com a adição e o produto assim definidos: se a,b{displaystyle a,b} ∈ Zn,{displaystyle _{n},} então a+b{displaystyle a+b} é o resto da divisão por n{displaystyle n} da soma dos números inteiros a{displaystyle a} e b{displaystyle b} e a.b{displaystyle a.b} é o resto da divisão por n{displaystyle n} do produto dos números inteiros a{displaystyle a} e b.{displaystyle b.} Então Zn{displaystyle _{n}} tem divisores de zero quando e só quando n{displaystyle n} for composto. Neste caso, se a e b forem números naturais tais que a.b=n{displaystyle a.b=n} então, em Zn,{displaystyle _{n},} a.b=0.{displaystyle a.b=0.}
  

Ideais |

Ver artigo principal: Ideal (teoria dos anéis)

Sejam A{displaystyle A} um anel e I{displaystyle I} um subconjunto não vazio de A.{displaystyle A.} Diz-se que I{displaystyle I} é um ideal à esquerda de A{displaystyle A} se

1. I≠A{displaystyle Ineq A}


2. (∀i,j∈I):i+j∈I{displaystyle (forall i,jin I):i+jin I}


3. (∀a∈A)(∀i∈I):a.i∈I{displaystyle (forall ain A)(forall iin I):a.iin I}

Diz-se que I{displaystyle I} é um ideal à direita de A{displaystyle A} se satisfizer as duas primeiras das condições anteriores, juntamente com

(∀a∈A)(∀i∈I):i.a∈I{displaystyle (forall ain A)(forall iin I):i.ain I}

Diz-se que I{displaystyle I} é um ideal bilateral se for simultaneamente um ideal à esquerda e um ideal à direita.

Caso A{displaystyle A} seja um anel comutativo, não há diferença entre os conceitos de ideal à esquerda e ideal à direita. Fala-se então somente de ideais.

Exemplos:

• Os inteiros pares formam um ideal do anel dos números inteiros. Mais geralmente, se m{displaystyle m} ∈ Z{±1{displaystyle 1}}, o conjunto dos inteiros que são múltiplos de m{displaystyle m} é um ideal do anel dos números inteiros e, de facto, todos os ideais do anel dos números inteiros. são daquela forma.


• Seja A{displaystyle A} o conjunto das funções f{displaystyle f} de R² em R² da forma

f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),{displaystyle f(x,y)=(a.x+b.y,c.x+d.y),}

onde a,b,c,d{displaystyle a,b,c,d} ∈ R. Então, se 0{displaystyle 0} for a função nula, se +{displaystyle +} for a adição de funções e se .{displaystyle .} for a composição, então A{displaystyle A} é um anel (não comutativo). Se

I={f∈A|f(1,0)=(0,0)},{displaystyle I={fin A,|,f(1,0)=(0,0)},}

então I{displaystyle I} é um ideal à esquerda, mas não é um ideal à direita.

Se A{displaystyle A} for um anel e I{displaystyle I} for um ideal (à esquerda ou à direita), considere-se em A{displaystyle A} a relação de equivalência ∼ assim definida:

a{displaystyle a} ∼ b{displaystyle b} se e só se a−b{displaystyle a-b} ∈ I.{displaystyle I.}

Se a{displaystyle a} ∈ A,{displaystyle A,} seja a+I{displaystyle a+I} a sua classe de equivalência; seja A/I{displaystyle A/I} o conjunto de todas as classes de equivalência. Então, se se definir

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,{displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I,}

(A/I,+){displaystyle (A/I,+)} é novamente um grupo abeliano. Além disso, se I{displaystyle I} for um ideal à esquerda e se a{displaystyle a} ∈ A,{displaystyle A,} então faz sentido definir a função

A/I⟶A/Ib+I↦a.b+I{displaystyle {begin{array}{ccc}A/I&longrightarrow &A/I\b+I&mapsto &a.b+Iend{array}}}

Analogamente, se I{displaystyle I} for um ideal à direita e se a{displaystyle a} ∈ A,{displaystyle A,} então faz sentido definir a função

A/I⟶A/Ib+I↦b.a+I{displaystyle {begin{array}{ccc}A/I&longrightarrow &A/I\b+I&mapsto &b.a+Iend{array}}}

Caso I{displaystyle I} seja um ideal bilateral, A/I{displaystyle A/I} volta a ser um anel se se definir

(a+I).(b+I)=a.b+I{displaystyle (a+I).(b+I)=a.b+I}

Referências

Bibliografia |

• 
  R.B.J.T. Allenby (1991). Rings, Fields and Groups. [S.l.]: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-340-54440-6 
  


• 
  Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.


• Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.


• 
  T.S. Blyth and E.F. Robertson (1985). Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3. [S.l.]: Cambridge university Press. ISBN 0-521-27288-2 
  


• Dresden, G. "Small Rings." [1]
  


• Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.


• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
  


• Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Lance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
  


• Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951


• 
  Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.


• 
  Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vi+150 pp.


• Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
  


• Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
  


• Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3
  


• 
  Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra, ISBN 978-0-387-22025-3 3rd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag .


• 
  Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, ISBN 978-0-521-36764-6, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2nd ed. , Cambridge University Press 
  


• McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
  


• 
  Pinter-Lucke, James (2007), «Commutativity conditions for rings: 1950–2005», Expositiones Mathematicae, ISSN 0723-0869, 25 (2): 165–174, doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001 
  


• Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
  


• Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences


• Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995

Ver também |

• Teoria dos anéis


• 
  Anel topológico, que combina a estrutura do anel com um espaço topológico, de forma que várias operações sejam contínuas.


• 
  Domínio euclidiano, um tipo de anel onde o algoritmo de Euclides pode ser utilizado.