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Uma lógica infinitária é uma lógica que permite declarações infinitamente longas e/ou provas infinitamente longas. Algumas lógicas infinitárias podem ter propriedades diferentes da lógica de primeira ordem comum. Em particular, lógicas infinitárias podem falhar em serem compactas ou completas. Noções de compacto ou completo que são equivalentes na lógica finitária, nem sempre o são na lógica infinitária. Portanto para lógicas infinitárias as noções de compacidade forte e completude forte são definidas. Esse artigo trata das logicas infinitárias do tipo Hilbert, pois essas foram extensivamente estudadas e constituem a extensão mais direta da lógica finitária. Porém, essas não as únicas lógicas infinitárias que foram formuladas ou estudadas.^[1]

Considerar se uma determinada lógica infinitária nomeada Ω-logic está completa promete ajudar a entender a hipótese do continuum.

Sobre notação e o axioma de escolha |

Quando uma linguagem com formulas infinitamente longas é apresentada, não é possível escrever expressões da maneira que elas deveriam ser escritas. Para contornar esse problema, várias “conveniências notacionais”, que, estritamente falando, não fazem parte da linguagem formal, são usadas. ⋯{displaystyle cdots } é usado para pontuar uma expressão que é infinitamente longa. Onde não ficar claro, o tamanho da sequência é colocado em notação depois. Onde essa notação se tornar ambígua ou confusa, sufixos como ∨γ<δAγ{displaystyle lor _{gamma <delta }{A_{gamma }}} são usados para indicar uma “disjunção infinita” sobre um conjunto de fórmulas de cardinalidade δ{displaystyle delta }. A mesma notação pode ser aplicada a quantificadores, por exemplo ∀γ<δVγ:{displaystyle forall _{gamma <delta }{V_{gamma }:}}. O significado disso é representar uma sequência infinita de quantificadores para cada Vγ{displaystyle V_{gamma }} onde γ<δ{displaystyle gamma <delta }. Todo uso de sufixos e ⋯{displaystyle cdots } não fazem parte das linguagens infinitárias formais. O “Axioma da escolha” é presumido (como frequentemente acontece quando se discute lógica infinitária) já que isso é necessário para ter leis distributivas sensatas.

Definição de lógicas infinitárias do tipo Hilbert |

Uma lógica infinitária de primeira ordem L_α,β, α regular β = 0 ou ω ≤ β ≤ α, usa o mesmo grupo de símbolos que uma lógica finitária e pode usar todas as regras para a formação de formulas da lógica finitária, junto com mais algumas:

• Dado um grupo de variáveis V={Vγ|γ<δ<β}{displaystyle V={V_{gamma }|gamma <delta <beta }} e a fórmula A0{displaystyle A_{0}} então ∀V0:∀V1⋯(A0){displaystyle forall V_{0}:forall V_{1}cdots (A_{0})} e ∃V0:∃V1⋯(A0){displaystyle exists V_{0}:exists V_{1}cdots (A_{0})} são fórmulas (Em cada caso a sequência tem comprimento δ{displaystyle delta }).


• Dado um grupo de fórmulas A={Aγ|γ<δ<α}{displaystyle A={A_{gamma }|gamma <delta <alpha }} então (A0∨A1∨⋯){displaystyle (A_{0}lor A_{1}lor cdots )} e (A0∧A1∧⋯){displaystyle (A_{0}land A_{1}land cdots )} são fórmulas (em cada caso a sequência tem comprimento δ{displaystyle delta }).

Os conceitos de variáveis ligadas, se aplica da mesma maneira em infinitas sentenças. Note que o número de chaves nessas fórmulas é sempre finito. Assim como na lógica finitária, uma fórmula em que todas as variáveis estão ligadas é conhecida como sentença.

Uma teoria T em lógica infinitária Lα,β{displaystyle L_{alpha ,beta }} é um grupo de declarações nessa lógica. Uma prova em lógica infinitária de uma teoria T é uma sequencia de declarações de comprimento γ{displaystyle gamma } que obedece as seguintes condições: cada declaração pode ser um “axioma lógico”, um elemento de T, ou é deduzido de declarações prévias usando uma regra de interferência. Como antes, todas as regras de interferência da lógica finitária podem ser usadas, junto com mais uma:

• Dado um grupo de declarações A={Aγ|γ<δ<α}{displaystyle A={A_{gamma }|gamma <delta <alpha }} que tenham ocorrido previamente na prova, então a declaração ∧γ<δAγ{displaystyle land _{gamma <delta }{A_{gamma }}} pode ser inferida.

Os esquemas de “axiomas lógicos” especificos para lógica infinitária estão representados abaixo. Esquema global de variáveis: δ{displaystyle delta } e γ{displaystyle gamma } tais que 0<δ<α{displaystyle 0<delta <alpha }.

• ((∧ϵ<δ(Aδ⟹Aϵ))⟹(Aδ⟹∧ϵ<δAϵ)){displaystyle ((land _{epsilon <delta }{(A_{delta }implies A_{epsilon })})implies (A_{delta }implies land _{epsilon <delta }{A_{epsilon }}))}


• Para cada γ<δ{displaystyle gamma <delta }, ((∧ϵ<δAϵ)⟹Aγ){displaystyle ((land _{epsilon <delta }{A_{epsilon }})implies A_{gamma })}
  


• Leis distributivas de Chang (para cada γ{displaystyle gamma }): (∨μ<γ(∧δ<γAμ,δ)){displaystyle (lor _{mu <gamma }{(land _{delta <gamma }{A_{mu ,delta }})})}, onde ∀μ∀δ∃ϵ<γ:Aμ,δ=Aϵ{displaystyle forall mu forall delta exists epsilon <gamma :A_{mu ,delta }=A_{epsilon }} ou Aμ,δ=¬Aϵ{displaystyle A_{mu ,delta }=neg A_{epsilon }}, e ∀g∈γγ∃ϵ<γ:{Aϵ,¬Aϵ}⊆{Aμ,g(μ):μ<γ}{displaystyle forall gin gamma ^{gamma }exists epsilon <gamma :{A_{epsilon },neg A_{epsilon }}subseteq {A_{mu ,g(mu )}:mu <gamma }}
  


• Para γ<α{displaystyle gamma <alpha }, ((∧μ<γ(∨δ<γAμ,δ))⟹(∨ϵ<γγ(∧μ<γAμ,γϵ(μ)))){displaystyle ((land _{mu <gamma }{(lor _{delta <gamma }{A_{mu ,delta }})})implies (lor _{epsilon <gamma ^{gamma }}{(land _{mu <gamma }{A_{mu ,gamma _{epsilon }(mu )})}}))}, onde {γϵ:ϵ<γγ}{displaystyle {gamma _{epsilon }:epsilon <gamma ^{gamma }}} é uma boa ordenação de γγ{displaystyle gamma ^{gamma }}
  

Os últimos dois esquemas de axioma requerem o axioma de escolha porque certos grupos devem ser bem ordenada. O ultimo esquema de axioma é desnecessário, estritamente falando, pois as leis distributivas de Chang o implica isso, no entanto é incluído como uma maneira natural de permitir enfraquecimentos naturais na lógica.

Completude, compacidade e completude forte |

Uma teoria é qualquer grupo de declarações. A verdade de declarações em modelos é definida por recursividade e irá concordar com a definição da lógica finitária onde ambos são definidos. Dada uma teoria T uma declaração é dita válida para essa teoria se for verdadeira em todos os modelos de T.

Uma lógica Lα,β{displaystyle L_{alpha ,beta }} é completa se para cada sentença S válida em cada modelo dela existir uma prova de S. É fortemente completa se para qualquer teoria T para cada sentença S válida em T existir uma prova de S vindo de T. Uma lógica infinitária pode ser completa sem ser fortemente completa.

Um cardinal κ≠ω{displaystyle kappa neq omega } é um cardinal fracamente compacto quando para cada teoria T em Lκ,κ{displaystyle L_{kappa ,kappa }} contendo no máximo κ{displaystyle kappa } fórmulas, se cada S ⊆{displaystyle subseteq } T de cardinalidade menor que κ{displaystyle kappa } tem um modelo, então T tem um modelo. Um cardinal κ≠ω{displaystyle kappa neq omega } é um cardinal fortemente compacto quando para cada teoria T em Lκ,κ{displaystyle L_{kappa ,kappa }}, sem restrição de tamanho, se cada S ⊆{displaystyle subseteq } T de cardinalidade menor que κ{displaystyle kappa } tem um modelo, então T tem um modelo.

Conceitos expressivos na lógica infinitária |

Na linguagem de teoria de grupo a seguinte declaração expressa regularidade:

∀γ<ωVγ:¬∧γ<ωVγ+∈Vγ.{displaystyle forall _{gamma <omega }{V_{gamma }:}neg land _{gamma <omega }{V_{gamma +}in V_{gamma }}.,}

Diferente do axioma da regularidade, essa declaração não admite interpretações não-padrão. O conceito de bem fundado pode ser expresso apenas numa lógica que permita infinitos quantificadores numa declaração individual. Como consequência muitas teorias, incluindo Aritmética de Peano, que não podem ser propriamente transformadas em axiomas na lógica finitária podem o ser na lógica infinitária. Outros exemplos incluem as teorias de Propriedade arquimediana e torção. Essas três teorias podem ser definidas sem o uso de quantificação infinita; apenas junções infinitas são necessárias.

Lógicas infinitárias completas |

Duas lógicas infinitárias se destacam por sua completude. Elas são Lω,ω{displaystyle L_{omega ,omega }} e Lω1,ω{displaystyle L_{omega _{1},omega }}. A primeira é lógica finitária padrão e a segunda é uma lógica infinitária que só permite declarações de tamanho contável.

Lω,ω{displaystyle L_{omega ,omega }} também é fortemente completa, compacta e fortemente compacta.

Lω1,ω{displaystyle L_{omega _{1},omega }} falha em ser compacta, mas é completa (sob os axiomas dados acima). Alem disso, satisfaz uma variante da propriedade interpolação de Craig.

Lα,α{displaystyle L_{alpha ,alpha }} é completa (sob os axiomas dados acima) sempre que α{displaystyle alpha } é
inacessível. Só será fortemente completo se α{displaystyle alpha } for fortemente compacto (pois provas nessas lógicas não podem usar α{displaystyle alpha } ou mais dos axiomas dados).

Referências