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 Nota: Se procura pelo(a) a estrutura piramidal, veja Pirâmide (arquitetura). Se procura pelo(a) outros significados, veja Pirâmide (desambiguação).

Estrutura básica de uma pirâmide.

Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo V{displaystyle V} e outra num polígono dado sobre um plano fixo α{displaystyle alpha } que não contém V{displaystyle V}.^[1] Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito^[2], uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Definição |

Ilustração da definição de pirâmide.

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo V{displaystyle V} (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém V{displaystyle V}.^[1][2] Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).^[3]

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo V{displaystyle V} e que passam por uma região poligonal que não contém V{displaystyle V}. Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido ^[1].

Tetraedro.

Pirâmide quadrangular.

Classificação |

Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo.^[1] É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.^[3]

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza.^[1] Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.^[2]

Elementos |

Ilustração de alguns elementos de uma pirâmide. Altura h{displaystyle h}, apótema da base ab{displaystyle a_{b}} e apótema lateral al{displaystyle a_{l}}.

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:^[1][2]

• base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.


• face lateral - qualquer triângulo de vértices V{displaystyle V} e dois vértices consecutivos da base.


• aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em V{displaystyle V} e outro em um vértice da base.


• aresta da base - qualquer lado do polígono da base.


• diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.


• vértices - V{displaystyle V} ou qualquer vértice da base.


• triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema |

A altura de uma pirâmide é a distância h{displaystyle h} entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então h{displaystyle h} é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.^[1][2]

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.^[1]

Área da superfície |

A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.^[1]

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:

Al=nbal2{displaystyle A_{l}=n{frac {ba_{l}}{2}}}

onde, n{displaystyle n} é o número de arestas do polígono da base, b{displaystyle b} é o comprimento de uma aresta da base e al{displaystyle a_{l}} é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:

At=Ab+Al{displaystyle A_{t}=A_{b}+A_{l}},

onde, Ab{displaystyle A_{b}} é a área de sua base.

Volume |

Volume de um tetraedro |

Tetraedro e o prima associado.

O volume de um tetraedro é dada por:

V=Ab⋅h3{displaystyle V={frac {A_{b}cdot h}{3}}}

onde, Ab{displaystyle A_{b}} é a área de sua base e h{displaystyle h} é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base Ab{displaystyle A_{b}} e altura h{displaystyle h}. Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prima formado.^[1][4]

Volume de uma pirâmide |

O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:^[3][5][4]

V=Ab⋅h3{displaystyle V={frac {A_{b}cdot h}{3}}}

onde, Ab{displaystyle A_{b}} é a área de sua base e h{displaystyle h} é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também |

• Pirâmides egípcias


• Pirâmides núbias


• Pirâmides chinesas


• Pirâmides mesoamericanas


• Número piramidal


• Poliedro


• Polígono


• Sólido

Ligações externas |

O Commons possui imagens e outras mídias sobre Pirâmide

• Brasil Escola - Pirâmides


• eGuia do Estudante - Pirâmides - Geometria Espacial


• InfoEscola - Pirâmide


• Matemática Essencial - Geometria Espacial - Pirâmide


• Só Matemática - Geometria Espacial - Pirâmide

Referências