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Em geometria diferencial, uma variedade complexa é a variedade na qual cada vizinhança apresenta-se como um n-espaço complexo em uma via coerente. Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas de cartas para o disco unidade aberta^[1] em Cn{displaystyle mathbf {C} ^{n}}, tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa é variadamente usado para significar uma variedade complexa no sentido acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Implicações da estrutura complexa |

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe C{displaystyle C}^∞, as teorias de variedades C{displaystyle C}^∞ e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade C{displaystyle C}^∞ pode ser imersa como uma subvariedade de Rn{displaystyle ^{n}}, aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cⁿ. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada M{displaystyle M}: qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cⁿ, então as funções coordenadas de Cⁿ se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cⁿ são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas C{displaystyle C}^∞ refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas C{displaystyle C}^∞, uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular, C{displaystyle C}^∞ e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de) Cn{displaystyle mathbf {C} ^{n}} dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

Exemplos de variedades complexas |

• 
  Superfícies de Riemann.


• O produto Cartesiano de duas variedades complexas.


• A imagem inversa de qualquer valor não crítico de um mapa holomórfico.

Variedades algébricas complexas lisas |

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

• Espaços vetoriais complexos.


• 
  Espaços complexos projetivos^[2], CPn{displaystyle mathbb {CP} ^{n}}.


• 
  Grassmannianos complexos.


• 
  Grupos de Lie complexos, tais como GL(n,C) ou Sp(n,C).

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

Simplesmente conectadas |

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

• 
  Δ{displaystyle Delta }, o disco unidade em C{displaystyle mathbb {C} }
  


• 
  C{displaystyle mathbb {C} }, o plano complexo


• 
  C^{displaystyle {hat {mathbb {C} }}}, a esfera de Riemann
  

Note-se que há inclusões entre estes como
Δ⊂C⊂C^{displaystyle Delta subset mathbb {C} subset {hat {mathbb {C} }}},
mas que não há nenhum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Disco vs. Espaço vs. Polidisco |

Os seguintes espaços são diferentes como estruturas complexas, demonstrando a geometria mais rígida característica característica de estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

• o disco unidade ou bola aberta, {z∈Cn∣‖z‖<1}{displaystyle {zin mathbb {C} ^{n}mid lVert zrVert <1}}
  


• espaço complexo Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}
  


• o polidisco {z=(z1,z2,…,zn)∈Cn∣|zi|<1, para todo i=1,…,n}{displaystyle {z=(z_{1},z_{2},dots ,z_{n})in {mathbb {C} }^{n}mid vert z_{i}vert <1,{mbox{ para todo }}i=1,dots ,n}}
  

Notas |

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