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O Sistema esférico de coordenadas é um sistema de referenciamento que permite a localização de um ponto qualquer em um espaço de formato esférico através de um conjunto de três valores, chamados de coordenadas esféricas.^[1]

Propriedades básicas |

Sistema de coordenadas esféricas pela convenção norte-americana

As coordenadas esféricas (r,θ,φ){displaystyle (r,theta ,varphi )} são (convenção norte-americana):

x=rcosθsen⁡φ{displaystyle x=r,mathrm {cos} theta ,operatorname {sen} varphi }

y=rsenθsen⁡φ{displaystyle {y}=r,mathrm {sen} theta ,operatorname {sen} varphi quad }

z=rcos⁡φ{displaystyle {z}=r,cos varphi quad }

Respeitados os intervalos r∈[0,∞],θ∈[0,2π[,φ∈[0,π]{displaystyle rin [0,infty ],,theta in [0,2pi [,,varphi in [0,pi ]}.

Como discutido posteriormente, alguns autores em diferentes contextos trocam as posições de θ{displaystyle theta } e φ{displaystyle varphi } e até como estes ângulos são definidos a partir dos eixos cartesianos. Por essa razão é sempre importante explicitar as substituições utilizadas num cálculo ou trabalho e ser consistente com elas até o fim.

Deduções |

O sistema representa a coordenada radial através do raio esférico da membrana que virtualmente conteria o ponto no espaço e de dois ângulos, suficientes para identificar sua posição em relação aos eixos principais.[2]

O espaço euclidiano pode ser visto como um conjunto de esferas concêntricas em que o raio serve como delimitador máximo da superfície de cada esfera e os ângulos determinam a localização exata dos pontos sobre a superfície plana φ=π2{displaystyle varphi ={frac {pi }{2}}} .

A regra de transformação de coordenadas retangulares em esféricas pode ser deduzida por trigonometria (desconsiderando para esta dedução os casos em que se anulam as funções trigonométricas, porém para as quais as identidades ainda são válidas):

• cos⁡θ=xrsenφ→x=rcosθsen⁡φ{displaystyle cos theta ={frac {x}{r,mathrm {sen} varphi }}to x=r,mathrm {cos} theta ,operatorname {sen} varphi }


• senθ=yrsenφ→y=rsenθsenφ{displaystyle mathrm {sen} ,theta ={frac {y}{r,mathrm {sen} varphi }}to y=r,mathrm {sen} theta ,,mathrm {sen} varphi }


• z=rcos⁡φ{displaystyle z=r,cos varphi }

Para encontrar as coordenadas esféricas a partir das suas correspondentes retangulares usamos as seguintes fórmulas:

• 
  r=x2+y2+z2{displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},!}, norma do vetor posição r→=xı^+yȷ^+zk^{displaystyle {vec {r}}=x{hat {imath }}+y{hat {jmath }}+z{hat {k}}}
  


• 
  tgθ=(yrsenφ)(rsenφx)=yx→θ=arctg(yx){displaystyle mathrm {tg} theta =left({frac {y}{r,mathrm {sen} varphi }}right)left({frac {r,mathrm {sen} varphi }{x}}right)={frac {y}{x}}to theta =mathrm {arctg} left({frac {y}{x}}right)}, em que se deve considerar o quadrante de θ{displaystyle theta } por meio da função atan2(y,x){displaystyle mathrm {atan2} left(y,xright)}^[3], sendo uma regra prática esboçar a trajetória do vetor radial e considerar o ângulo θ{displaystyle theta } a partir da rotação no plano xy{displaystyle xy}, da mesma forma como é encontrado o argumento principal de um número complexo, ou seja, θ=arg(x+yi){displaystyle theta =mathrm {arg(x+yi)} }
  


• cos⁡φ=zr=zx2+y2+z2→φ=arccos⁡(zx2+y2+z2){displaystyle cos varphi ={frac {z}{r}}={frac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}to varphi =arccos left({frac {z}{sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}right)}

Convenções utilizadas |

Convenção norte-americana |

Em termos de coordenadas cartesianas, a convenção norte-americana é:

• 
  r{displaystyle r} (raio): a distância entre o ponto P e a origem.


• 
  φ{displaystyle varphi } (colatitude, ângulo zenital ou ângulo polar) de 0{displaystyle 0} a π{displaystyle pi } é o ângulo entre o eixo z{displaystyle z} e a linha que une a origem e ponto P(x,y,z){displaystyle P(x,y,z)}, e


• 
  θ{displaystyle theta } (azimute ou longitude) de 0{displaystyle 0} a 2π{displaystyle 2pi } é o ângulo entre o eixo x{displaystyle x} positivo e a linha que une a origem com a projeção do ponto P(x,y,z){displaystyle P(x,y,z)} no plano xy{displaystyle xy}.

Convenção não norte-americana |

Na convenção não norte-americana são intercalados os símbolos θ{displaystyle theta } e φ{displaystyle varphi }, sendo então:

• 
  θ{displaystyle theta } a colatitude (ângulo polar ou ângulo zenital).


• 
  φ{displaystyle varphi } o azimute.

A variação das três coordenadas esféricas torna-se então:

0≤r<∞0≤φ<2π0≤θ≤π{displaystyle 0leq r<infty qquad 0leq varphi <2pi qquad 0leq theta leq pi }

Observando-se que a coordenada radial é sempre positiva.

Aplicação ao cálculo integral^[4] |

No cálculo integral, podemos usar o sistema de coordenadas esféricas para fazer uma mudança de variáveis, alterando do sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z){displaystyle (x,y,z)} para (r,φ,θ){displaystyle (r,varphi ,theta )}. Neste caso há que inserir no integral o módulo do Jacobiano (determinante da matriz Jacobiana) da transformação, que neste caso dá r2sin⁡φ{displaystyle r^{2}sin varphi }. Vale notar que, independentemente da convenção utilizada, o módulo do Jacobiano sempre permanecerá idêntico: mudanças na ordem das linhas ou colunas apenas invertem o sinal algébrico. Então:

∭Qf(x,y,z)dxdydz=∭Ef(rsenφcos⁡θ,rsenφsenθ,rcos⁡φ) r2senφ drdφdθ{displaystyle iiint _{Q}f(x,y,z),dxdydz=iiint _{E}f(r,mathrm {sen} varphi ,cos theta ,r,mathrm {sen} varphi ,,mathrm {sen} theta ,r,cos varphi ) r^{2},mathrm {sen} varphi drdvarphi dtheta }

A ordem de integração drdϕdθ{displaystyle drdphi dtheta } pode ser alterada conforme for mais conveniente.

Caso se queira achar apenas o volume da região Q{displaystyle Q}, faz-se f(x,y,z)=1{displaystyle f(x,y,z)=1}:

V(Q)=∭E r2senϕ drdϕdθ{displaystyle V(Q)=iiint _{E} r^{2},mathrm {sen} phi drdphi dtheta }

Exemplo: Volume da esfera |

Neste sistema de coordenadas torna-se fácil por exemplo calcular o volume de uma esfera de raio R{displaystyle R}. Podemos constatar que, nesta região Q{displaystyle Q}, com as variáveis θ∈[0,2π){displaystyle theta in [0,2pi )}, φ∈[0,π]{displaystyle varphi in [0,pi ]} e r∈[0,R]{displaystyle rin [0,R]}.

Volume elementar em coordenadas esféricas (convenção norte-americana)

V(Q)=∫0R∫02π∫0πr2senφdφdθdr=∫0Rr2∫02π∫0πsenφdφdθdr={displaystyle V(Q)=int _{0}^{R}int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }r^{2},mathrm {sen} varphi ,dvarphi dtheta dr=int _{0}^{R}r^{2}int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }mathrm {sen} varphi ,dvarphi dtheta dr=}=∫0Rr2∫02π(−cos(π)+cos(0))dθdr=2∫0Rr2∫02π1dθdr={displaystyle =int _{0}^{R}r^{2}int _{0}^{2pi }(-cos(pi )+cos(0)),dtheta dr=2int _{0}^{R}r^{2}int _{0}^{2pi }1,dtheta dr=}

=2∫0Rr2(2π−0)dr=4π∫0Rr2dr=4π[r33]0R=43πR3{displaystyle =2int _{0}^{R}r^{2}(2pi -0),dr=4pi int _{0}^{R}r^{2},dr=4pi left[{frac {r^{3}}{3}}right]_{0}^{R}={frac {4}{3}}pi R^{3}}

que coincide com a fórmula da geometria euclidiana para o volume da esfera.

Referências

Ver também |

• Coordenadas cartesianas


• Coordenadas cilíndricas


• Coordenadas geográficas


• Esfera armilar

Ligações externas |

• Mudanças de variáveis em coordenadas esféricas

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