Mecânica celeste
















































A mecânica celeste é o ramo da astronomia que estuda os movimentos dos corpos celestes (naturais ou não). A principal força determinante dos movimentos celestes é a gravitação, contudo certos corpos (satélites artificiais, cometas e asteróides) podem sofrer a influência marcante de forças não gravitacionais como a pressão de radiação e o atrito (com a atmosfera superior no caso dos satélites artificiais terrestres). A astronáutica está intimamente ligada a esta ciência.[1][2][3][4][5][6]




Índice






  • 1 Objetivo


  • 2 Funcionalidades


  • 3 Exemplos de problemas


  • 4 Lei da gravitação universal


  • 5 Encontros espaciais


    • 5.1 Movimento dos planetas


    • 5.2 Órbita de transferência de Hohmann


    • 5.3 Movimento do corpo é uma certa altura acima da nave espacial


    • 5.4 O sistema Terra-Lua fixo no espaço




  • 6 Ver também


  • 7 Referências


  • 8 Bibliografia


  • 9 Ligações externas





Objetivo |


O objetivo da Mecânica Celeste, como o da Astrometria, é o de determinar as posições relativas dos astros e suas variações com o tempo, mas diferentemente da Astrometria, a Mecânica Celeste faz esse estudo baseada principalmente nos dados da Astrometria e na parte teórica fornecida pela Mecânica Clássica.[3]


A Mecânica Celeste é, pois, a parte da Astronomia que visa estudar o movimento relativo dos astros que estão submetidos às forças admitidas como resultantes da atração gravitacional entre esses corpos celestes. Assim, podemos dizer que a Mecânica Celeste estuda os movimentos relativos dos astros, aplicando as leis da Mecânica Newtoniana.[6]



Funcionalidades |


Usando a mecânica celeste é possível determinar as distâncias e as posições dos astros do Sistema Solar, calcular órbitas de satélites artificiais em torno da Terra, determinar as trajetórias de sondas espaciais enviadas a outros astros do Sistema Solar e determinar as massas de corpos celestes, tais como planetas, satélites e estrelas.[3][6]



Exemplos de problemas |


Alguns problemas estudados pela mecânica celeste são:[7][3][6]



  • O problema de um corpo de massa infinitesimal sujeito à atração gravitacional de outro corpo. Este problema tem uma solução fechada, mesmo no caso de três dimensões, porém para resolver a posição do corpo no tempo é preciso resolver uma equação transcendente: a equação de Kepler.[8]

  • O problema dos dois corpos: calcular as órbitas de dois corpos (podem ser considerados pontos de massa, ou corpos de raio pequeno com simetria esférica) sujeitos à ação gravitacional. Este problema se reduz ao caso de um corpo.

  • O problema dos três corpos: calcular as órbitas de três corpos sujeitos às ações gravitacionais. Este problema, exceto em casos muito especiais, não tem uma solução analítica.

  • Campos gravitacionais sem simetria esférica: calcular a órbita de um corpo de massa infinitesimal em um campo gravitacional assimétrico (por exemplo, um satélite orbitando um corpo achatado).


A mecânica celeste mostrou sua eficiência na descoberta do planeta Netuno em 1846 por U. J. de Verrier. Baseados nas perturbações da órbita do planeta Urano, astrônomos puderam calcular a presença de um outro corpo celeste influenciando seu movimento. E lá estava Netuno. Com Plutão não foi diferente. P. Lowel no início do século XX pôde prever a existência do planeta estudando a órbita de Netuno. Em 1930, Plutão foi finalmente descoberto por Clyde Tombaugh.


O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria que constava no fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.


O modelo da mecânica celeste de Tycho Brahe é muito curioso, pois ele coloca os planetas orbitando o Sol e este orbitando a Terra, o que o torna ao mesmo tempo geocêntrico e heliocêntrico.



Lei da gravitação universal |



Ver artigo principal: Lei da gravitação universal

Um destaque na história da física foi a descoberta, por Isaac Newton, da lei da gravitação universal: todos os objetos se atraem com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros. Ao definir uma única lei matemática para os fenômenos físicos no universo observável, Newton mostrou que a física terrestre e física celeste são a mesma coisa. O conceito de gravidade poderia, em uma única fórmula:[3][6][8]



  1. Revelar o significado físico de três leis de Kepler do movimento planetário.

  2. Resolver o intrincado problema da origem das marés

  3. Explicar a observação curiosa e inexplicável de Galileu de que o movimento de um objeto em queda é independente de seu peso.


A força centrípeta das órbitas circulares pode ser deduzida a partir da terceira lei de Kepler do movimento planetário e a dinâmica do movimento circular uniforme:


De acordo com a terceira lei de Kepler, o período P{displaystyle P}P é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse. No caso de órbita circular, o semieixo é o próprio raio r{displaystyle r}r e, assim:


P2=kr3{displaystyle P{^{2}}=kr{^{3}}}{displaystyle P{^{2}}=kr{^{3}}}

A dinâmica do movimento circular uniforme, nos diz que em uma trajetória circular, a força a ser aplicada ao corpo é o produto de sua massa pela aceleração padrão:


F=mv2r{displaystyle F={frac {mv{^{2}}}{r}}}{displaystyle F={frac {mv{^{2}}}{r}}}

O tempo (período P{displaystyle P}P) que leva um planeta para completar uma volta é a razão entre o comprimento da circunferência e velocidade:


P=2 π rv{displaystyle P={frac {2~pi ~r}{v}}}{displaystyle P={frac {2~pi ~r}{v}}}


Encontros espaciais |


O objetivo deste programa é enviar uma nave da Terra a Marte e voltar para a Terra seguindo um caminho chamado de semielíptica órbita de transferência de Hohmann. Supõe-se que as órbitas da Terra e Marte são circulares e que as únicas forças na nave espacial são devido à ação do sol, ignorando as influências mútuas entre estes planetas e do navio.[3][6]


Primeiro, devemos fazer a viagem da Terra a Marte. Observar a magnitude das velocidades angulares dos dois planetas. Qual deve ser a distância angular entre a Terra e Marte no momento do lançamento da nave espacial chega a Marte ? Em que planeta tem que ir em frente ?


Uma vez que alcança Marte, fazemos as mesmas perguntas para a viagem de volta para a Terra.



Movimento dos planetas |




Movimento dos planetas.


Nós assumimos que os planetas Marte e Terra têm órbita circular em torno do Sol. Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme,[3][6]




Equação da dinâmica do movimento circular uniforme.


Onde:



m=1.98kg{displaystyle m=1.98kg}{displaystyle m=1.98kg}


1030{displaystyle 1030}{displaystyle 1030} é a massa solar

G=6,67.10−11 Nm2kg2{displaystyle G=6,67.10^{-11}~{frac {Nm^{2}}{kg^{2}}}}{displaystyle G=6,67.10^{-11}~{frac {Nm^{2}}{kg^{2}}}}


r{displaystyle r}r é o raio da trajetória circular descrita pelo planeta.


Para a Terra:



rTerra=1,49⋅ 1011 m{displaystyle r_{Terra}=1,49cdot ~10^{11}~m}{displaystyle r_{Terra}=1,49cdot ~10^{11}~m}, de modo que vTerra=29.772,6 ms{displaystyle v_{Terra}=29.772,6~{frac {m}{s}}}{displaystyle v_{Terra}=29.772,6~{frac {m}{s}}}

Para Marte:



rMarte=2,28⋅1011 m{displaystyle r_{Marte}=2,28cdot 10^{11}~m}{displaystyle r_{Marte}=2,28cdot 10^{11}~m}, então vMarte=24.067,3 ms{displaystyle v_{Marte}=24.067,3~{frac {m}{s}}}{displaystyle v_{Marte}=24.067,3~{frac {m}{s}}}


Órbita de transferência de Hohmann |




Encontro do sol e da terra.


Assumimos influência insignificante dos planetas no movimento da nave espacial em sua viagem da Terra a Marte. A nave irá descrever uma órbita elíptica com um dos focos no Sol.[3][6] O periélio é o raio da Terra r1=1,49⋅ 1011 m{displaystyle r_{1}=1,49cdot ~10^{11}~m}{displaystyle r_{1}=1,49cdot ~10^{11}~m} e o raio de Marte afélio r2=2,28⋅1011 m{displaystyle r_{2}=2,28cdot 10^{11}~m}{displaystyle r_{2}=2,28cdot 10^{11}~m}.


Conhecida rTerra=r1=r2=rMarte{displaystyle r_{Terra}=r_{1}=r_{2}=r_{Marte}}{displaystyle r_{Terra}=r_{1}=r_{2}=r_{Marte}}, pode-se determinar a velocidade da espaçonave no periélio e afélio v2{displaystyle v_{2}}v_{2} é a velocidade de Marte e v1{displaystyle v_{1}}v_{1} é a velocidade da Terra, aplicando as propriedades da força atrativa.


A força de atração entre a nave e o Sol é central, onde m{displaystyle m}m é o momento angular que permanece constante.


m ⋅ r1 ⋅ v1 ⋅ sen 90º=m ⋅ r2 ⋅ v2 ⋅ sen 90º{displaystyle m~cdot ~r_{1}~cdot ~v_{1}~cdot ~sen~90{text{º}}=m~cdot ~r_{2}~cdot ~v_{2}~cdot ~sen~90{text{º}}}{displaystyle m~cdot ~r_{1}~cdot ~v_{1}~cdot ~sen~90{text{º}}=m~cdot ~r_{2}~cdot ~v_{2}~cdot ~sen~90{text{º}}}

A força de atração é conservadora, a energia total permanece constante




Equação da força de atração.


Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas, subtituindo v1{displaystyle v_{1}}v_{1} e v2{displaystyle v_{2}}v_{2}:


Dados: r1=1,49⋅1011 m{displaystyle r_{1}=1,49cdot 10^{11}~m}{displaystyle r_{1}=1,49cdot 10^{11}~m}, e r2=2,28⋅1011 m{displaystyle r_{2}=2,28cdot 10^{11}~m}{displaystyle r_{2}=2,28cdot 10^{11}~m},


Resultado: v1=32742,7 ms{displaystyle v_{1}=32742,7~{frac {m}{s}}}{displaystyle v_{1}=32742,7~{frac {m}{s}}} e v2=21397,6 ms{displaystyle v_{2}=21397,6~{frac {m}{s}}}{displaystyle v_{2}=21397,6~{frac {m}{s}}}


A órbita elíptica que descreve a nave espacial tem:




  • semieixo maior a=(r1+r2)=1,885⋅1011m{displaystyle a=left(r_{1}+r_{2}right)=1,885cdot 10^{11}m}{displaystyle a=left(r_{1}+r_{2}right)=1,885cdot 10^{11}m};


  • excentricidade e=(r2−r1)(r2+r1)=0,21{displaystyle e={frac {left(r_{2}-r_{1}right)}{left(r_{2}+r_{1}right)}}=0,21}{displaystyle e={frac {left(r_{2}-r_{1}right)}{left(r_{2}+r_{1}right)}}=0,21}.



Movimento do corpo é uma certa altura acima da nave espacial |


Considere primeiro o caso mais simples, o movimento de um corpo está em uma distância h{displaystyle h}h da espaçonave medido ao longo da direção radial e no momento inicial, tem a mesma velocidade. Ele libera o corpo e descobriram que se movem em órbitas diferentes.[3][6]




Movimento relativo


Vamos considerar dois casos que h{displaystyle h}h é positivo, a altura do corpo é maior do que a nave espacial, e h{displaystyle h}h é negativo, se a altura do corpo é menor que a da nave espacial.


A constância do momento angular e energia do corpo nos permitem calcular a distância máxima ou mínima e r2{displaystyle r_{2}}r_2 velocidade v2{displaystyle v_{2}}v_{2} conhecida a distância mínima ou máxima r1=r0+h{displaystyle r_{1}=r_{0}+h}{displaystyle r_{1}=r_{0}+h} de velocidade v1=v0{displaystyle v_{1}=v_{0}}{displaystyle v_{1}=v_{0}}.



O sistema Terra-Lua fixo no espaço |


Dados do sistema Terra-Lua:[3][6]


Massa da Terra, MTerra=5,98⋅ 1024 kg{displaystyle M_{Terra}=5,98cdot ~10^{24}~kg}{displaystyle M_{Terra}=5,98cdot ~10^{24}~kg}


Raio da Terra, RTerra=6370⋅ km=6,37⋅ 106 m{displaystyle R_{Terra}=6370cdot ~km=6,37cdot ~10^{6}~m}{displaystyle R_{Terra}=6370cdot ~km=6,37cdot ~10^{6}~m}


Massa da Lua, MLua=7,34⋅ 1022 kg{displaystyle M_{Lua}=7,34cdot ~10^{22}~kg}{displaystyle M_{Lua}=7,34cdot ~10^{22}~kg}


Raio da Lua, RLua=1740⋅ km=1,74⋅ 106 m{displaystyle R_{Lua}=1740cdot ~km=1,74cdot ~10^{6}~m}{displaystyle R_{Lua}=1740cdot ~km=1,74cdot ~10^{6}~m}


Distância entre a Terra e a Lua, d=384000⋅ km=384,0⋅ 106 m{displaystyle d=384000cdot ~km=384,0cdot ~10^{6}~m}{displaystyle d=384000cdot ~km=384,0cdot ~10^{6}~m}



Ver também |



  • Leis de Kepler

  • Lei da Gravitação Universal



Referências




  1. Mecânica Celeste


  2. MECÂNICA CELESTE


  3. abcdefghij Vladimir A. Chobotov, Orbital Mechanics , AIAA, 2002 ISBN 1-600-86097-4


  4. Asger Aaboe, Episodes from the Early History of Astronomy, 2001, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95136-9


  5. Forest R. Moulton, Introduction to Celestial Mechanics, 1984, Dover, ISBN 0-486-64687-4


  6. abcdefghij Howard Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students , Butterworth-Heinemann, 2013 ISBN 0-080-97748-0


  7. Uma Introdução à Mecânica Celeste


  8. ab Mecânica Celeste (em inglês)



Bibliografia |



  1. LUIZ G. SPOLADORE, MECANICA CELESTE , ARGONIO ISBN 8-560-59902-9

  2. John E. Prussing, Bruce A. Conway, Orbital Mechanics , Oxford University Press, 1993 ISBN 0-195-07834-9

  3. Almeida, Ana Cristina, 1963-, ed. lit., Portugal. Biblioteca Nacional, ed. lit., Santos, Manuela, 1955-, ed. lit., CDU: Classificação Decimal Universal: tabela de autoridade , Biblioteca Nacional Portugal, 2005 ISBN 9-725-65395-5

  4. Paulo Marques dos Santos, Instituto Astronômico e Geofísico da USP: memória sobre sua formação e evolução , EdUSP, 2005 ISBN 8-531-40878-4

  5. Jan Vrbik, New Methods of Celestial Mechanics , Bentham Science Publishers, 2010 ISBN 1-608-05187-0

  6. J. M. A. Danby, Fundamentals of Celestial Mechanics, 1992, Willmann-Bell ISBN 0-943-39620-4

  7. Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets, 2007, Springer-Praxis, ISBN 0-387-30777-X



Ligações externas |



  • Dinâmica Celeste

  • livros e apostilas

  • inpe material de curso
































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